- Um corpo desliza sobre uma curva cuja trajetória é descrita por
, com
e
constantes. Se as componentes
da velocidade e da aceleração do corpo são
e
, respectivamente, encontre a componente
da aceleração no exato momento em que ela passa pela origem da trajetória.
Use
ou
. Cuidado:
e não
; Sol:
.
Use
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a componente
da aceleração do corpo, chamada aqui de
, no exato momento em que ele passa pela origem da trajetória.
Informações dadas:
- A trajetória do corpo é descrita por
, com e constantes. - As componentes da velocidade e da aceleração na direção
são e , respectivamente. - É lembrado que a velocidade é
e não ; portanto e .
Observação sobre o ponto pedido:
- Pela equação
tem-se . O instante para o qual vamos avaliar será o instante em que a abscissa do corpo vale (o momento em que o corpo está sobre a reta vertical , ponto da curva com coordenada ).
Passo 2
Expressar a velocidade vertical
em termos de derivadas em
. Aqui usamos a regra da cadeia: se
é função de
e
é função de
, então
Neste texto denote-se
por
e
por
. Também
. Logo
Explicando a regra da cadeia de forma simples: a variação de
em relação ao tempo é a variação de
por unidade de
multiplicada pela velocidade com que
varia no tempo.
Passo 3
Derivar
para obter
. Aplicamos a derivada temporal ao produto
. Usamos a regra do produto:
. Assim
Agora aplicamos novamente a regra da cadeia para
: como
depende de
,
Substituindo na expressão de
obtemos a fórmula padrão
Esta fórmula é muito útil: o termo
vem da variação da inclinação da curva ao longo do movimento (efeito da curva sobre a aceleração vertical), e o termo
vem da aceleração já existente na direção
transformada para a direção
pela inclinação.
Passo 4
Calcular
e
para a função dada
. Diferenciando em relação a
:
Aqui foi usada a regra básica de derivação de potências:
.
Passo 5
Substituir
e
na fórmula de
:
Portanto, em qualquer instante com abscissa
,
Passo 6
Avaliar
no instante pedido: no momento em que o corpo está sobre a reta
(isto é, quando passa pela origem da abscissa da trajetória — ponto da curva com
e
), substitui-se
na expressão acima. Fazendo isso,
Assim ambos os termos se anulam porque cada um contém pelo menos um fator
. Conclusão: a componente vertical da aceleração naquele instante vale zero, independentemente dos valores de
e
.
Passo 7
Comentário (para evitar confusão): se alguém interpretasse “passa pela origem” como o ponto
(ou seja, exigir
), então seria necessário que
e o
naquele instante seria
; nesse caso, ao substituir tal
na fórmula geral
em geral
não é zero (dependendo de
e
). Portanto o resultado
corresponde à avaliação no instante em que
.