1. Um corpo desliza sobre uma curva cuja trajetória é descrita por y=a x^{3}+b, com a e b constantes. Se as componentes x da velocidade e da aceleração do corpo são v_{x} e a_{x}, respectivamente, encontre a componente y da aceleração no exato momento em que ela passa pela origem da trajetória.
    Use v=\frac{d y}{d t} ; a=\frac{d v}{d t} ou a=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}. Cuidado: v=\frac{d y}{d t} e não v=\frac{d y}{d x}; Sol: a_{y}=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a componente y da aceleração do corpo, chamada aqui de a_{y}, no exato momento em que ele passa pela origem da trajetória.
Informações dadas:
  • A trajetória do corpo é descrita por y = a x^{3} + b, com a e b constantes.
  • As componentes da velocidade e da aceleração na direção x são v_{x}=\dfrac{dx}{dt} e a_{x}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, respectivamente.
  • É lembrado que a velocidade é v=\dfrac{dy}{dt} e não \dfrac{dy}{dx}; portanto v_{y}=\dfrac{dy}{dt} e a_{y}=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
Observação sobre o ponto pedido:
  • Pela equação y(x)=a x^{3}+b tem-se y(0)=b. O instante para o qual vamos avaliar será o instante em que a abscissa do corpo vale x=0 (o momento em que o corpo está sobre a reta vertical x=0, ponto da curva com coordenada y=b).

Passo 2

Expressar a velocidade vertical v_{y} em termos de derivadas em x. Aqui usamos a regra da cadeia: se y é função de x e x é função de t, então
v_{y}=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\,\frac{dx}{dt}.
Neste texto denote-se \dfrac{dy}{dx} por y'(x) e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} por y''(x). Também \dfrac{dx}{dt}=v_{x}. Logo
v_{y}=y'(x)\,v_{x}.
Explicando a regra da cadeia de forma simples: a variação de y em relação ao tempo é a variação de y por unidade de x multiplicada pela velocidade com que x varia no tempo.

Passo 3

Derivar v_{y} para obter a_{y}. Aplicamos a derivada temporal ao produto y'(x)\,v_{x}. Usamos a regra do produto: \dfrac{d}{dt}(u v)=\dfrac{du}{dt}v+u\dfrac{dv}{dt}. Assim
a_{y}=\frac{d v_{y}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(y'(x)\,v_{x}\big)=\frac{d}{dt}\big(y'(x)\big)\,v_{x}+y'(x)\,\frac{dv_{x}}{dt}.
Agora aplicamos novamente a regra da cadeia para \dfrac{d}{dt}y'(x): como y'(x) depende de x,
\frac{d}{dt}\big(y'(x)\big)=y''(x)\,\frac{dx}{dt}=y''(x)\,v_{x}.
Substituindo na expressão de a_{y} obtemos a fórmula padrão
\boxed{\,a_{y}=y''(x)\,v_{x}^{2}+y'(x)\,a_{x}\,}
Esta fórmula é muito útil: o termo y''v_{x}^{2} vem da variação da inclinação da curva ao longo do movimento (efeito da curva sobre a aceleração vertical), e o termo y'a_{x} vem da aceleração já existente na direção x transformada para a direção y pela inclinação.

Passo 4

Calcular y'(x) e y''(x) para a função dada y(x)=a x^{3}+b. Diferenciando em relação a x:
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(a x^{3}+b\big)=3a x^{2},
y''(x)=\frac{d}{dx}\big(3a x^{2}\big)=6a x.
Aqui foi usada a regra básica de derivação de potências: \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 5

Substituir y' e y'' na fórmula de a_{y}:
a_{y}=y''(x)\,v_{x}^{2}+y'(x)\,a_{x}=(6a x)\,v_{x}^{2}+(3a x^{2})\,a_{x}.
Portanto, em qualquer instante com abscissa x,
\boxed{\,a_{y}=6a x\,v_{x}^{2}+3a x^{2}\,a_{x}\,.}

Passo 6

Avaliar a_{y} no instante pedido: no momento em que o corpo está sobre a reta x=0 (isto é, quando passa pela origem da abscissa da trajetória — ponto da curva com x=0 e y=b), substitui-se x=0 na expressão acima. Fazendo isso,
a_{y}=6a\cdot 0\cdot v_{x}^{2}+3a\cdot 0^{2}\cdot a_{x}=0+0=0.
Assim ambos os termos se anulam porque cada um contém pelo menos um fator x. Conclusão: a componente vertical da aceleração naquele instante vale zero, independentemente dos valores de v_{x} e a_{x}.

Passo 7

Comentário (para evitar confusão): se alguém interpretasse “passa pela origem” como o ponto (0,0) (ou seja, exigir y=0), então seria necessário que a x^{3}+b=0 e o x naquele instante seria x=\big(-\tfrac{b}{a}\big)^{1/3}; nesse caso, ao substituir tal x na fórmula geral
a_{y}=6a x\,v_{x}^{2}+3a x^{2}\,a_{x},
em geral a_{y} não é zero (dependendo de v_{x} e a_{x}). Portanto o resultado a_{y}=0 corresponde à avaliação no instante em que x=0.

Resposta

\;a_{y}=0

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