A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=3 t-4 t^{2}+t^{3}, em que x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t : (a) 1 s , (b) 2 s , (c) 3 s , (d) 4 s . (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t=0 e t=4 \mathrm{~s} ? (f) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de t=2 \mathrm{~s} a t=4 \mathrm{~s} ? (g) Desenhe o gráfico de x em função de t para 0 \leq t \leq 4 \mathrm{~s} e indique como a resposta do item (f) pode ser determinada a partir do gráfico.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede.
  • A posição do objeto é dada por x(t)=3\,t-4\,t^{2}+t^{3}, com x em metros e t em segundos. (Peguei esta expressão do enunciado.)
  • Pedidos:
    (a) calcular x em t=1\\ \text{s};
    (b) calcular x em t=2\\ \text{s};
    (c) calcular x em t=3\\ \text{s};
    (d) calcular x em t=4\\ \text{s};
    (e) determinar o deslocamento entre t=0 e t=4\\ \text{s};
    (f) calcular a velocidade média no intervalo t=2\\ \text{s} a t=4\\ \text{s};
    (g) desenhar o gráfico x versus t para 0\le t\le4 e explicar como a resposta do item (f) é obtida no gráfico.

Passo 2

Como calcular x para um tempo específico: para avaliar a posição em um instante t basta substituir esse valor na expressão x(t)=3t-4t^{2}+t^{3}. Vou fazer substituições passo a passo, mostrando as contas.
(a) Para t=1\\ \text{s}:
x(1)=3\cdot 1 - 4\cdot 1^{2} + 1^{3}.
Agora as contas: 3\cdot1=3, 4\cdot1^{2}=4, 1^{3}=1. Então
x(1)=3-4+1=0\\ \text{m}.

Passo 3

(b) Para t=2\\ \text{s}:
x(2)=3\cdot 2 - 4\cdot 2^{2} + 2^{3}.
Calcule cada termo: 3\cdot2=6, 4\cdot2^{2}=4\cdot4=16, 2^{3}=8. Então
x(2)=6-16+8= -2\\ \text{m}.

Passo 4

(c) Para t=3\\ \text{s}:
x(3)=3\cdot 3 - 4\cdot 3^{2} + 3^{3}.
Termos: 3\cdot3=9, 4\cdot3^{2}=4\cdot9=36, 3^{3}=27. Portanto
x(3)=9-36+27=0\\ \text{m}.

Passo 5

(d) Para t=4\\ \text{s}:
x(4)=3\cdot 4 - 4\cdot 4^{2} + 4^{3}.
Termos: 3\cdot4=12, 4\cdot4^{2}=4\cdot16=64, 4^{3}=64. Então
x(4)=12-64+64=12\\ \text{m}.

Passo 6

(e) Definição e cálculo do deslocamento entre t=0 e t=4\\ \text{s}.
  • Conceito: o deslocamento entre dois instantes t_{1} e t_{2} é a variação da posição \Delta x=x(t_{2})-x(t_{1}). Aqui t_{1}=0 e t_{2}=4.
  • Primeiro calcule x(0) substituindo t=0 na expressão:
x(0)=3\cdot 0 - 4\cdot 0^{2} + 0^{3}=0\\ \text{m}.
  • Agora o deslocamento:
\Delta x = x(4)-x(0)=12-0=12\\ \text{m}.

Passo 7

(f) Definição e cálculo da velocidade média entre t=2\\ \text{s} e t=4\\ \text{s}.
  • Conceito: a velocidade média \bar v em um intervalo [t_{1},t_{2}] é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo:
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=2 e t_{2}=4. Já calculei x(2)=-2\\ \text{m} e x(4)=12\\ \text{m}.
  • Logo
\bar v=\frac{12-(-2)}{4-2}=\frac{14}{2}=7\\ \text{m/s}.
Explicação simples: isso significa que, em média, o objeto se deslocou 7 metros por segundo no intervalo de 2 a 4 segundos.

Passo 8

(g) Como desenhar o gráfico x vs t para 0\le t\le4 e como obter a resposta do item (f) a partir do gráfico.
  • Pontos-chave para plotar (peguei estes valores das contas anteriores):
    • t=0\Rightarrow x(0)=0.
    • t=1\Rightarrow x(1)=0.
    • t=2\Rightarrow x(2)=-2.
    • t=3\Rightarrow x(3)=0.
    • t=4\Rightarrow x(4)=12.
  • Observação algébrica útil (ajuda no esboço): a função pode ser fatorada como
x(t)=t^{3}-4t^{2}+3t=t(t-1)(t-3),
logo as raízes (onde x=0) são t=0,1,3. Isso explica por que x volta a zero em t=1 e t=3.
  • Esboço do gráfico: marque os pontos acima e ligue-os por uma curva suave de grau 3 (cúbica). A curva começa em zero, desce até x(2)=-2, volta a zero em t=3 e sobe rapidamente até x(4)=12.
  • Como obter a velocidade média a partir do gráfico: desenhe a secante que liga o ponto correspondente a t=2 (com x=-2) ao ponto correspondente a t=4 (com x=12). A inclinação dessa secante (declive) é
\text{slope}=\frac{\text{diferença de }x}{\text{diferença de }t}=\frac{12-(-2)}{4-2}=7,çç
ou seja, é exatamente a velocidade média calculada no item (f). Em palavras mais diretas: a velocidade média num intervalo é a inclinação da reta que une as posições inicial e final no gráfico x(t).

Resposta

(a) x(1)=0\\ \text{m}
(b) x(2)=-2\\ \text{m}
(c) x(3)=0\\ \text{m}
(d) x(4)=12\\ \text{m}
(e) \Delta x_{0\to4}=12\\ \text{m}
(f) \bar v_{2\to4}=7\\ \text{m/s}
(g) Gráfico: pontos (0,0),(1,0),(2,-2),(3,0),(4,12); a velocidade média do item (f) é a inclinação da secante que une os pontos em t=2 e t=4, sendo essa inclinação igual a 7\\ \text{m/s}.

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