A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e
em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de
: (a) 1 s , (b) 2 s , (c) 3 s , (d) 4 s . (e) Qual é o deslocamento do objeto entre
e
? (f) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de
a
? (g) Desenhe o gráfico de
em função de
para
e indique como a resposta do item (f) pode ser determinada a partir do gráfico.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede.
- A posição do objeto é dada por
, com em metros e em segundos. (Peguei esta expressão do enunciado.) - Pedidos:
(a) calcularem ;
(b) calcularem ;
(c) calcularem ;
(d) calcularem ;
(e) determinar o deslocamento entree ;
(f) calcular a velocidade média no intervaloa ;
(g) desenhar o gráficoversus para e explicar como a resposta do item (f) é obtida no gráfico.
Passo 2
Como calcular
para um tempo específico: para avaliar a posição em um instante
basta substituir esse valor na expressão
. Vou fazer substituições passo a passo, mostrando as contas.
(a) Para
:
Agora as contas:
,
,
. Então
Passo 3
(b) Para
:
Calcule cada termo:
,
,
. Então
Passo 4
(c) Para
:
Termos:
,
,
. Portanto
Passo 5
(d) Para
:
Termos:
,
,
. Então
Passo 6
(e) Definição e cálculo do deslocamento entre
e
.
- Conceito: o deslocamento entre dois instantes
e é a variação da posição . Aqui e . - Primeiro calcule
substituindo na expressão:
- Agora o deslocamento:
Passo 7
(f) Definição e cálculo da velocidade média entre
e
.
- Conceito: a velocidade média
em um intervalo é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo:
Aqui
e
. Já calculei
e
.
- Logo
Explicação simples: isso significa que, em média, o objeto se deslocou
metros por segundo no intervalo de
a
segundos.
Passo 8
(g) Como desenhar o gráfico
vs
para
e como obter a resposta do item (f) a partir do gráfico.
- Pontos-chave para plotar (peguei estes valores das contas anteriores):
-
. -
. -
. -
. -
.
-
- Observação algébrica útil (ajuda no esboço): a função pode ser fatorada como
logo as raízes (onde
) são
. Isso explica por que
volta a zero em
e
.
- Esboço do gráfico: marque os pontos acima e ligue-os por uma curva suave de grau 3 (cúbica). A curva começa em zero, desce até
, volta a zero em e sobe rapidamente até . - Como obter a velocidade média a partir do gráfico: desenhe a secante que liga o ponto correspondente a
(com ) ao ponto correspondente a (com ). A inclinação dessa secante (declive) é
ou seja, é exatamente a velocidade média calculada no item (f). Em palavras mais diretas: a velocidade média num intervalo é a inclinação da reta que une as posições inicial e final no gráfico
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) Gráfico: pontos ; a velocidade média do item (f) é a inclinação da secante que une os pontos em
e
, sendo essa inclinação igual a
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) Gráfico: pontos