Um anel fino uniformemente carregado possui um raio de 15,0 \mathrm{~cm} e uma carga de 24,0 \mathrm{nC}. Um elétron é ɔlocado no eixo do anel a uma distância de 30,0 \mathrm{~cm} do ,eu centro, sendo obrigado a se mover ao longo desse eixo. A massa e a carga do elétron são respectivamente iguais a 9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} e 1,602 \times 10^{-19} \mathrm{C}. Ao ser liberado do repouso, a velocidade do elétron (desprezando efeitos relativísticos) ao passar pelo centro do anel é igual a:
1,67 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
0,42 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
6,68 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
0,28 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
3,34 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Raio do anel: R=0{,}15\\ \mathrm{m}.
    • Carga total do anel: Q=24{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
    • O elétron é solto a uma posição no eixo do anel, a uma distância do centro: x_0=0{,}30\\ \mathrm{m}.
    • Massa do elétron: m=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • Carga (módulo) do elétron: e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Como é um elétron, sua carga real é q=-e.
    • Constante eletrostática (valor usado): k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}}.
  • O que o enunciado pede:
    • A velocidade do elétron ao passar pelo centro do anel, desprezando efeitos relativísticos, quando é liberado do repouso em x_0.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Potencial elétrico no eixo de um anel carregado: cada elemento de carga dq do anel está à mesma distância d=\sqrt{x^{2}+R^{2}} de um ponto no eixo a uma distância x do centro. O potencial devido a dq é dV=k\,dq/d. Integrando ao longo do anel (a distância é constante para todos os dq) obtemos a fórmula conhecida:
V(x)=\frac{kQ}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}.
Aqui V(x) é o potencial elétrico no ponto do eixo a distância x do centro; Q é a carga total do anel; k é a constante eletrostática.
  • Energia potencial elétrica de uma carga q num potencial V é
U=qV.
No nosso caso q é a carga do elétron (negativa).
  • Conservação da energia mecânica: como não há forças não-conservativas elétricas (desprezamos resistência do ar etc.), a variação da energia potencial elétrica transforma-se em energia cinética. Assim, liberado do repouso,
K_{\text{final}}=U_{\text{inicial}}-U_{\text{final}}.
Como K_{\text{final}}=\dfrac{1}{2}mv^{2}, temos
\frac{1}{2}mv^{2}=q\bigl[V(x_{0})-V(0)\bigr].
Observe que q é negativo (elétron), então o lado direito fica positivo se V(x_{0})<V(0); por isso vou calcular numericamente com o sinal correto.

Passo 3

Calcular os potenciais numéricos nos dois pontos usando a fórmula do passo anterior.
  • Primeiro calculemos kQ:
kQ=(8{,}99\times10^{9})\,(24{,}0\times10^{-9})=215{,}7\\ (\text{unidade: V}\cdot\text{m}).
  • Potencial no centro ( x=0):
V(0)=\frac{kQ}{R}=\frac{215{,}7}{0{,}15}=1438{,}0\\ \mathrm{V}.
  • Potencial no ponto inicial ( x=x_{0}):
V(x_{0})=\frac{kQ}{\sqrt{x_{0}^{2}+R^{2}}}.
Como x_{0}/R=0{,}30/0{,}15=2, temos \sqrt{x_{0}^{2}+R^{2}}=R\sqrt{1+2^{2}}=R\sqrt{5}. Então
V(x_{0})=\frac{kQ}{R\sqrt{5}}=\frac{V(0)}{\sqrt{5}}.
Numericamente,
V(x_{0})=\frac{1438{,}0}{\sqrt{5}}=644{,}0\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular a energia disponível para converter em cinética e obter v.
  • Energia potencial inicial e final:
U_{\text{in}}=qV(x_{0})=(-e)\,V(x_{0}),\qquad U_{\text{f}}=qV(0)=(-e)\,V(0).
  • Diferença que vira energia cinética:
\frac{1}{2}mv^{2}=U_{\text{in}}-U_{\text{f}}=(-e)\bigl[V(x_{0})-V(0)\bigr]=e\bigl[V(0)-V(x_{0})\bigr].
Note que escrevemos o último passo para garantir um lado positivo, já que V(0)>V(x_{0}).
  • Substituindo números:
V(0)-V(x_{0})=1438{,}0-644{,}0=794{,}0\\ \mathrm{V}.
\frac{1}{2}mv^{2}=e\,(794{,}0).
v=\sqrt{\frac{2e(794{,}0)}{m}}.

Passo 5

Fazer a conta final (detalhando os valores numéricos).
  • Produto e\cdot794{,}0:
e\cdot794{,}0=(1{,}602\times10^{-19})\times794{,}0=1{,}2726\times10^{-16}\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).
  • Então
v=\sqrt{\frac{2\times1{,}2726\times10^{-16}}{9{,}11\times10^{-31}}} =\sqrt{\frac{2{,}5452\times10^{-16}}{9{,}11\times10^{-31}}} =\sqrt{2{,}794\times10^{14}} \approx1{,}67\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

1{,}67\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}

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