Um anel fino uniformemente carregado possui um raio de
e uma carga de
. Um elétron é ɔlocado no eixo do anel a uma distância de
do ,eu centro, sendo obrigado a se mover ao longo desse eixo. A massa e a carga do elétron são respectivamente iguais a
e
. Ao ser liberado do repouso, a velocidade do elétron (desprezando efeitos relativísticos) ao passar pelo centro do anel é igual a:
◯
.
◯
.
◯
.
◯
.
◯
.
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Raio do anel:
. - Carga total do anel:
. - O elétron é solto a uma posição no eixo do anel, a uma distância do centro:
. - Massa do elétron:
. - Carga (módulo) do elétron:
. Como é um elétron, sua carga real é . - Constante eletrostática (valor usado):
.
- Raio do anel:
-
O que o enunciado pede:
- A velocidade do elétron ao passar pelo centro do anel, desprezando efeitos relativísticos, quando é liberado do repouso em
.
- A velocidade do elétron ao passar pelo centro do anel, desprezando efeitos relativísticos, quando é liberado do repouso em
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Potencial elétrico no eixo de um anel carregado: cada elemento de carga
do anel está à mesma distância de um ponto no eixo a uma distância do centro. O potencial devido a é . Integrando ao longo do anel (a distância é constante para todos os ) obtemos a fórmula conhecida:
Aqui
é o potencial elétrico no ponto do eixo a distância
do centro;
é a carga total do anel;
é a constante eletrostática.
- Energia potencial elétrica de uma carga
num potencial é
No nosso caso
é a carga do elétron (negativa).
- Conservação da energia mecânica: como não há forças não-conservativas elétricas (desprezamos resistência do ar etc.), a variação da energia potencial elétrica transforma-se em energia cinética. Assim, liberado do repouso,
Como
, temos
Observe que
é negativo (elétron), então o lado direito fica positivo se
; por isso vou calcular numericamente com o sinal correto.
Passo 3
Calcular os potenciais numéricos nos dois pontos usando a fórmula do passo anterior.
- Primeiro calculemos
:
- Potencial no centro (
):
- Potencial no ponto inicial (
):
Como
, temos
. Então
Numericamente,
Passo 4
Calcular a energia disponível para converter em cinética e obter
.
- Energia potencial inicial e final:
- Diferença que vira energia cinética:
Note que escrevemos o último passo para garantir um lado positivo, já que
.
- Substituindo números:
Passo 5
Fazer a conta final (detalhando os valores numéricos).
- Produto
:
- Então