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(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 − 12t + 3t 2 (onde t está em segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t = 1s?
(b) O movimento nesse instante no sentido é positivo ou negativo de x?
© Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante?
(d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante?
(e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece?
(f) Existe algum instante após t = 3 s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo de x? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece?
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(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 − 12t + 3t 2 (onde t está em segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t = 1s?
(b) O movimento nesse instante no sentido é positivo ou negativo de x?
© Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante?
(d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante?
(e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece?
(f) Existe algum instante após t = 3 s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo de x? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece?
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem que analisar o movimento de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por $ x = 4 - 12t + 3t^2 $, onde $ t $ está em segundos e $ x $ em metros. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente posição, velocidade e aceleração. Também vamos precisar derivar funções para encontrar a velocidade e analisar o movimento em diferentes instantes de tempo.
Passo 2
(a) Qual é a velocidade da partícula em $ t = 1s $?
Para encontrar a velocidade, vamos derivar a posição em relação ao tempo. A velocidade é a primeira derivada da posição:
Agora, substituindo $ t = 1 $ segundo:
Passo 3
(b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de $ x $?
A direção do movimento é determinada pelo sinal da velocidade.
Como calculamos em (a) que $ v(1) = -6 $ m/s, que é negativo, isso significa que a partícula está se movendo na direção negativa de $ x $.
Passo 4
© Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante?
A velocidade escalar é o valor absoluto da velocidade, ou seja, ignora a direção.
Então, se $ v(1) = -6 $ m/s, a velocidade escalar é:
Passo 5
(d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante?
Para saber se a velocidade está aumentando ou diminuindo, precisamos analisar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade:
A aceleração é positiva ($ a(t) = 6 $ m/s²), o que significa que a velocidade está aumentando no sentido positivo. Porém, como a velocidade em $ t = 1s $ é negativa ($ v(1) = -6 $ m/s), isso indica que a velocidade está diminuindo em módulo, ou seja, está aumentando em direção a zero.
Passo 6
(e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de $ t $ isso acontece?
Para encontrar quando a velocidade é zero, resolvemos $ v(t) = 0 $:
Sim, a velocidade se anula em $ t = 2 $ segundos.
Passo 7
(f) Existe algum instante após $ t = 3 $ s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo de $ x $? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de $ t $ isso acontece?
Vamos analisar a velocidade após $ t = 3 $ s. A função da velocidade é $ v(t) = -12 + 6t $.
Queremos saber quando $ v(t) < 0 $:
Mas $ t > 3 $, então não há $ t $ maior que 3 onde $ v(t) < 0 $. Isso significa que, após $ t = 3 $ s, a velocidade é positiva e a partícula está se movendo no sentido positivo de $ x $.
Resposta
(a) A velocidade da partícula em $ t = 1s $ é
m/s.
(b) Nesse instante, o movimento é no sentido negativo de $ x $.
© A velocidade escalar é
m/s.
(d) A velocidade escalar está diminuindo nesse instante.
(e) A velocidade se anula em $ t = 2 $ segundos.
(f) Não existe nenhum instante após $ t = 3 $ s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo de $ x $.