Um trem parte de uma estação com o seu apito ligado, que emite um som com frequência de 880 Hz. Enquanto ele afasta-se, uma pessoa parada percebe esse som com uma frequência de 800 Hz. Sendo a velocidade do som no ar igual a 340 m/s, calcule a velocidade do trem ao passar pela estação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um trem que sai de uma estação emitindo um som com frequência de 880 Hz. Enquanto o trem se afasta, uma pessoa parada ouve esse som com frequência de 800 Hz. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade do trem quando ele passa pela estação.
Nesse problema, vamos usar o Efeito Doppler, que explica como a frequência do som muda quando a fonte que está emitindo o som está em movimento em relação ao observador. A gente vai precisar entender essa fórmula e como aplicá-la para encontrar a velocidade do trem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Efeito Doppler quando a fonte do som está se afastando do observador:
f' = f times ( vv + vs )
Onde:
  • $ f’ $ é a frequência percebida pelo observador (800 Hz).
  • $ f $ é a frequência emitida pela fonte (880 Hz).
  • $ v $ é a velocidade do som no ar (340 m/s).
  • $ v_s $ é a velocidade da fonte (no caso, a velocidade do trem que queremos encontrar).
Essa fórmula nos mostra que, quando a fonte se afasta, a frequência percebida diminui, o que é o que está acontecendo no nosso problema.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar $ v_s $:
vs
Agora, nosso objetivo é isolar $ v_s $ nessa equação.

Passo 4

Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por 880 para simplificar:
800880 = 340340 + vs
Simplificando a fração à esquerda:
1011 = 340340 + vs

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ v_s $. Para isso, fazemos um produto cruzado:
vs
Distribuindo o 10:
10 times (340 + vs) = 11 times 340

Passo 6

Vamos isolar $ 10v_s $ subtraindo 3400 de ambos os lados:
10vs
10vs = 3740 - 3400
Agora, dividimos ambos os lados por 10 para encontrar $ v_s $:
10vs = 340
vs

Resposta

A velocidade do trem ao passar pela estação é de 34 metros por segundo.

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