2; 2 A posição de uma partícula é dada por s=2 t^{3}-30 t^{2}+100 t-50, em que s é em metros e t é em segundos. Represente graficamente a posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo para os primeiros 12 segundos de movimento. Determine o instante em que a velocidade é zero.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede duas coisas:
  • Representar graficamente, no intervalo dos primeiros 12 segundos, as três funções: posição s(t), velocidade v(t) e aceleração a(t).
  • Determinar os instantes em que a velocidade é zero.
Informações fornecidas:
s(t)=2\,t^{3}-30\,t^{2}+100\,t-50,\qquad s\\ \text{em metros},\\ t\\ \text{em segundos},
intervalo de interesse: 0\le t\le 12.

Passo 2

Vamos obter as fórmulas de velocidade e aceleração a partir de s(t). Aqui entra a regra básica de derivação que vou explicar rapidinho: derivada de t^{n} é n\,t^{n-1} (regra do “power”). Derivada de soma é soma das derivadas; constante some zero.
Aplicando isso em cada termo de s(t):
  • Derivada de 2\,t^{3} é 2\cdot 3\,t^{2}=6\,t^{2}.
  • Derivada de -30\,t^{2} é -30\cdot 2\,t=-60\,t.
  • Derivada de 100\,t é 100.
  • Derivada de -50 é 0.
Portanto a velocidade é
v(t)=\frac{ds}{dt}=6\,t^{2}-60\,t+100.
A aceleração é a derivada de v(t). Derivando termo a termo (novamente a regra do power):
  • Derivada de 6\,t^{2} é 12\,t.
  • Derivada de -60\,t é -60.
  • Derivada de 100 é 0.
Logo
a(t)=\frac{dv}{dt}=12\,t-60.

Passo 3

Interpretação qualitativa (antes de desenhar):
  • s(t) é um polinômio cúbico — curva que pode ter um máximo local e um mínimo local; ponto de inflexão quando a(t)=0.
  • v(t) é uma parábola com coeficiente de t^{2} positivo ( 6>0) — abre para cima; seu vértice é o ponto de mínimo e ocorre em t=-\dfrac{b}{2a}.
  • a(t) é uma linha reta crescente (coeficiente positivo 12).
Essas formas ajudam a esboçar: aceleração linear, velocidade parabólica (mínimo em t=5, como veremos), e posição com mudança de concavidade em t onde a(t)=0.

Passo 4

Determinar os instantes em que a velocidade é zero — é uma equação quadrática:
v(t)=6\,t^{2}-60\,t+100=0.
Para resolver usamos a fórmula de Bhaskara. Primeiro simplifico dividindo por 2 para facilitar:
3\,t^{2}-30\,t+50=0.
A fórmula dá
t=\frac{30\pm\sqrt{(-30)^{2}-4\cdot 3\cdot 50}}{2\cdot 3}.
Calculo do discriminante:
\Delta = (-30)^{2}-4\cdot 3\cdot 50=900-600=300.
Assim
t=\frac{30\pm\sqrt{300}}{6}=\frac{30\pm 10\sqrt{3}}{6}=\frac{15\pm 5\sqrt{3}}{3}.
Agora os valores numéricos (aproximações úteis na prova):
t_{1}\approx 2{,}113248653\\ \text{s},\qquad t_{2}\approx 7{,}886751347\\ \text{s}.
Esses são os dois instantes em que v(t)=0. (Explicando em palavras: a parábola corta o eixo dos tempos em dois pontos.)

Passo 5

Verificação e interpretação do sinal de v(t) (útil para saber quando a posição sobe ou desce):
  • Calculo rápido de alguns valores:
v(0)=100,\quad v(2)=6\cdot4-120+100=4,\quad v(3)=54-180+100=-26,
v(5)=6\cdot25-300+100=-50,\quad v(8)=6\cdot64-480+100=4,\quad v(12)=864-720+100=244.
Portanto:
  • Para t< t_{1} (antes de \approx 2{,}113 s) v(t)>0 — posição aumentando.
  • Para t_{1}<t<t_{2} (aprox. entre 2{,}113 s e 7{,}887 s) v(t)<0 — posição decresce.
  • Para t>t_{2} v(t)>0 — posição volta a aumentar.

Passo 6

Ponto de inflexão e comportamento da aceleração:
Resolver a(t)=0:
12\,t-60=0\quad\Rightarrow\quad t=5\\ \text{s}.
Isso significa que em t=5 a concavidade de s(t) muda (inflection point); também é o vértice (mínimo) da parábola v(t) porque o vértice da parábola ocorre em -\dfrac{b}{2a}=\dfrac{60}{12}=5.
Alguns valores de a(t) para referência:
a(0)=-60,\\ a(2)=-36,\\ a(5)=0,\\ a(8)=36,\\ a(12)=84.
A aceleração cresce linearmente de -60 em t=0 até +84 em t=12.

Passo 7

Valores de s(t), v(t) e a(t) em pontos úteis para desenhar os gráficos (tabelinha que pode usar para marcar pontos no papel):
\begin{array}{llll} t & s(t)\\ \text{(m)} & v(t)\\ \text{(m/s)} & a(t)\\ \text{(m/s^{2})}\\hline 0 & -50 & 100 & -60\\[2pt] 2 & 46 & 4 & -36\\[2pt] t_{1}\approx 2{,}113 & 46{,}227\\ (\text{máx. local}) & 0 & -34{,}643\\[2pt] 3 & 34 & -26 & -24\\[2pt] 5 & -50 & -50 & 0\\ (\text{inflexão da }s)\\[2pt] t_{2}\approx 7{,}887 & -146{,}225\\ (\text{mín. local}) & 0 & 34{,}643\\[2pt] 8 & -146 & 4 & 36\\[2pt] 12 & 286 & 244 & 84 \end{array}áãí
Observações sobre os números:
  • Os valores em t_{1} e t_{2} foram calculados numericamente como mostrado no Passo 4 e usados para obter s(t_{1})\approx 46{,}227 m e s(t_{2})\approx -146{,}225 m.
  • Em t=5 temos s(5)=-50 (curioso: mesma posição que em t=0), v(5)=-50, a(5)=0.]

Passo 8

Como representar graficamente (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe três sistemas de eixos t horizontal, e s, v, a verticalmente separados ou em três painéis empilhados; marque t de 0 a 12 s com escala regular (por exemplo 1 cm = 1 s).
  2. Para a(t)=12t-60 (reta): marque pontos (0,-60), (5,0), (12,84) e ligue com reta — é linha crescente cruzando o eixo em t=5.
  3. Para v(t)=6t^{2}-60t+100 (parábola): marque o vértice em t=5,\\ v(5)=-50 e as raízes em t_{1} e t_{2} (aprox. 2{,}113 e 7{,}887); também marque valores em t=0 e t=12 para orientar a escala. A parábola abre para cima.
  4. Para s(t)=2t^{3}-30t^{2}+100t-50 (cúbica): marque os extremos locais em (t_{1},s(t_{1})) e (t_{2},s(t_{2})), o ponto de inflexão (5,-50), e alguns valores de referência (0,-50),(2,46),(8,-146),(12,286). Ligue suavemente passando pelos pontos e respeitando a concavidade: concavidade para baixo antes de t=5, para cima depois de t=5.
Dica prática: primeiro trace a(t) (reta) porque é simples; depois use a(t) para saber onde v(t) é decrescente/ crescente e marque o mínimo de v; por fim use os zeros e sinal de v para ver onde s sobe ou desce e marque extremos de s. Isso torna o esboço rápido e confiável sem muitas contas.

Resposta

t\approx 2{,}113\\ \text{s}
t\approx 7{,}887\\ \text{s}

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