2; 2 A posição de uma partícula é dada por
, em que s é em metros e t é em segundos. Represente graficamente a posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo para os primeiros 12 segundos de movimento. Determine o instante em que a velocidade é zero.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede duas coisas:
- Representar graficamente, no intervalo dos primeiros 12 segundos, as três funções: posição
, velocidade e aceleração . - Determinar os instantes em que a velocidade é zero.
Informações fornecidas:
intervalo de interesse:
.
Passo 2
Vamos obter as fórmulas de velocidade e aceleração a partir de
. Aqui entra a regra básica de derivação que vou explicar rapidinho: derivada de
é
(regra do “power”). Derivada de soma é soma das derivadas; constante some zero.
Aplicando isso em cada termo de
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto a velocidade é
A aceleração é a derivada de
. Derivando termo a termo (novamente a regra do power):
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 3
Interpretação qualitativa (antes de desenhar):
-
é um polinômio cúbico — curva que pode ter um máximo local e um mínimo local; ponto de inflexão quando . -
é uma parábola com coeficiente de positivo ( ) — abre para cima; seu vértice é o ponto de mínimo e ocorre em . -
é uma linha reta crescente (coeficiente positivo ).
Essas formas ajudam a esboçar: aceleração linear, velocidade parabólica (mínimo em
, como veremos), e posição com mudança de concavidade em
onde
.
Passo 4
Determinar os instantes em que a velocidade é zero — é uma equação quadrática:
Para resolver usamos a fórmula de Bhaskara. Primeiro simplifico dividindo por
para facilitar:
A fórmula dá
Calculo do discriminante:
Assim
Agora os valores numéricos (aproximações úteis na prova):
Esses são os dois instantes em que
. (Explicando em palavras: a parábola corta o eixo dos tempos em dois pontos.)
Passo 5
Verificação e interpretação do sinal de
(útil para saber quando a posição sobe ou desce):
- Calculo rápido de alguns valores:
Portanto:
- Para
(antes de s) — posição aumentando. - Para
(aprox. entre s e s) — posição decresce. - Para
— posição volta a aumentar.
Passo 6
Ponto de inflexão e comportamento da aceleração:
Resolver :
Resolver
Isso significa que em
a concavidade de
muda (inflection point); também é o vértice (mínimo) da parábola
porque o vértice da parábola ocorre em
.
Alguns valores de
para referência:
A aceleração cresce linearmente de
em
até
em
.
Passo 7
Valores de
,
e
em pontos úteis para desenhar os gráficos (tabelinha que pode usar para marcar pontos no papel):
Observações sobre os números:
- Os valores em
e foram calculados numericamente como mostrado no Passo 4 e usados para obter m e m. - Em
temos (curioso: mesma posição que em ), , .]
Passo 8
Como representar graficamente (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe três sistemas de eixos
horizontal, e , , verticalmente separados ou em três painéis empilhados; marque de a s com escala regular (por exemplo 1 cm = 1 s). - Para
(reta): marque pontos , , e ligue com reta — é linha crescente cruzando o eixo em . - Para
(parábola): marque o vértice em e as raízes em e (aprox. e ); também marque valores em e para orientar a escala. A parábola abre para cima. - Para
(cúbica): marque os extremos locais em e , o ponto de inflexão , e alguns valores de referência . Ligue suavemente passando pelos pontos e respeitando a concavidade: concavidade para baixo antes de , para cima depois de .
Dica prática: primeiro trace
(reta) porque é simples; depois use
para saber onde
é decrescente/ crescente e marque o mínimo de
; por fim use os zeros e sinal de
para ver onde
sobe ou desce e marque extremos de
. Isso torna o esboço rápido e confiável sem muitas contas.