A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(i) Construa o gráfico da velocidade como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente construir o gráfico da velocidade em função do tempo, sabendo que a posição da partícula é dada por . Isso entra na área de cinemática, que estuda o movimento dos objetos. Para resolver, precisamos entender que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição . Então, vamos derivar cada termo da função :

Passo 3

Agora, calculando cada derivada individualmente:

Passo 4

Juntando tudo, a função velocidade fica:

Passo 5

Para construir o gráfico, podemos analisar a função . Sabemos que é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos importantes:
  1. Interse�o com o eixo y: Quando , .
  2. Raízes da função (quando ):
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá dois valores para , onde a velocidade cruza o eixo do tempo.

Passo 7

Com esses pontos e sabendo a concavidade da parábola, podemos esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.

Resposta

A função velocidade é . O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, cruzando o eixo y em -3 e os eixos x nos pontos e .

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