Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^1(a x+b) d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral definida integral0^1(a x + b) , dx usando a definição da integral apresentada no Teorema 4. Basicamente, vamos trabalhar com o conceito de integrais definidas, que envolvem encontrar a área sob a curva da função a x + b entre os limites de 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que a integral definida integrala^b f(x) , dx representa a soma das áreas de retângulos infinitamente pequenos sob a curva de f(x) entre x = a e x = b. Para calcular isso usando a definição, dividimos o intervalo [0,1] em n partes iguais.

Passo 3

A largura de cada subintervalo é De. Os pontos de divisão serão então x0 = 0, x1 = 1n, x2 = 2n, e assim por diante, até xn = 1.

Passo 4

Escolhemos um ponto em cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar os pontos à direita, ou seja, xi = in para cada i de 1 até n. Isso facilita os cálculos.

Passo 5

A soma de Riemann usando os pontos à direita fica assim:
sumi=1^n f(in) De

Passo 6

Simplificando a expressão:
sumi=1^n (a cdot in + b) cdot 1n = an^2 sumi=1^n i + bn sumi=1^n 1

Passo 7

Sabemos que:
sumi=1^n i = n(n+1)2 e sumi=1^n 1 = n

Passo 8

Substituindo essas somas na expressão:
an^2 cdot n(n+1)2 + bn cdot n = a(n + 1)2n + b

Passo 9

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty ( a(n + 1)2n + b ) = a2 + b

Resposta

A integral integral0^1(a x + b) , dx é igual a a2 + b.

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