Forno de microondas: O princípio físico de funcionamento do forno de microondas está ligado às ondas eletromagnéticas estacionárias. Considerando então que os módulos dos campos elétricos, de duas ondas eletromagńeticas, são dados por E_{1}(x, t)=E_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t) e E_{2}(x, t)=E_{m} \operatorname{sen}(k x+\omega t). (a) Aplicando o princípio da superposição, encontre o módulo do campo elétrico estacionário resultante do processo de interferência e indique as posições de amplitude nula (nós) e as de máxima amplitude (ventres) da onda eletromagńtica. (b) A partir da expressão obtida para o módulo do campo elétrico resultante e da equação de onda, mostre que v=\lambda f.

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas eletromagnéticas com os módulos dos campos elétricos:
E_1(x,t)=E_m\operatorname{sen}(kx-\omega t)
E_2(x,t)=E_m\operatorname{sen}(kx+\omega t)
O que se pede:
  1. (a) Aplicar o princípio da superposição e encontrar o módulo do campo elétrico resultante da interferência — ou seja, a expressão do campo estacionário resultante — e indicar as posições dos nós (amplitude nula) e dos ventres (máxima amplitude).
  2. (b) A partir da expressão obtida e da equação de onda, mostrar que \,v=\lambda f\,.
Informações dadas (resumidas):
\,E_m é a amplitude de cada onda incidente; \,k é o número de onda; \,\omega é a frequência angular; as ondas têm sinais opostos no termo temporal, sugerindo uma onda andando para a direita e outra para a esquerda com mesma amplitude e frequência.

Passo 2

Princípio da superposição: o campo resultante é a soma das duas ondas pontual a ponto. Vamos somar as duas expressões:
E(x,t)=E_1(x,t)+E_2(x,t)=E_m\operatorname{sen}(kx-\omega t)+E_m\operatorname{sen}(kx+\omega t).
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental para soma de senos:
\operatorname{sen} A+\operatorname{sen} B=2\operatorname{sen}\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Aqui A=kx-\omega t e B=kx+\omega t. Calculemos os média e a metade da diferença:
\frac{A+B}{2}=\frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2}=kx,
\frac{A-B}{2}=\frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2}=-\omega t.
Como \cos(-\omega t)=\cos(\omega t), obtemos a soma simplificada.

Passo 3

Aplicando a identidade ao campo:
E(x,t)=E_m\Bigl[ \operatorname{sen}(kx-\omega t)+\operatorname{sen}(kx+\omega t)\Bigr] =2E_m\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t).
Explicando cada termo:
  • \,2E_m é a amplitude máxima espacial multiplicativa (o fator 2 vem da soma das amplitudes iguais).
  • \,\operatorname{sen}(kx) é a função que determina a dependência espacial da amplitude — é o “envelope” espacial.
  • \,\cos(\omega t) descreve a oscilação temporal em cada ponto fixo x.
    Portanto temos uma onda estacionária (fica fixa em posição, com amplitude variando espacialmente), dada por
\boxed{E(x,t)=2E_m\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t).}

Passo 4

Nós (pontos de amplitude nula): ocorrrem quando a amplitude espacial \operatorname{sen}(kx) é zero, porque então, para qualquer tempo, o produto é zero. Então impomos
\operatorname{sen}(kx)=0 \quad\Rightarrow\quad kx=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Daí as posições dos nós são
x=\frac{n\pi}{k},\qquad n=0,\pm1,\pm2,\dots
Interpretação: são pontos fixos onde o campo elétrico permanece sempre nulo — a energia ali é mínima.

Passo 5

Ventres (antínodos, máxima amplitude): ocorrem quando o módulo de \operatorname{sen}(kx) é máximo, ou seja |\operatorname{sen}(kx)|=1. Isso acontece quando
k x = \frac{(2n+1)\pi}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.
Portanto as posições dos ventres são
x=\frac{(2n+1)\pi}{2k},\qquad n=0,\pm1,\pm2,\dots
Nesses pontos a amplitude espacial vale \pm1 e a amplitude temporal \cos(\omega t) faz o campo oscilar entre \pm 2E_m.

Passo 6

Relacionando com o comprimento de onda \lambda: por definição do número de onda,
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Substituindo em nós e ventres obtemos posições em função de \lambda:
Nós:
x=\frac{n\pi}{k}=n\frac{\pi}{2\pi/\lambda}=n\frac{\lambda}{2} \quad\Rightarrow\quad x=n\frac{\lambda}{2}.
Ventres:
x=\frac{(2n+1)\pi}{2k}=(2n+1)\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\lambda}{2\pi}=(2n+1)\frac{\lambda}{4}.
Conclusão prática: nós separados por \lambda/2, ventres a cada \lambda/2 também, intercalados entre si (nó, ventre, nó, …).

Passo 7

Para (b) usamos a equação de onda unidimensional para o campo elétrico (forma usual):
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2},
onde \,v é a velocidade de propagação da onda (no meio).
Pegamos a solução encontrada \,E(x,t)=2E_m\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t) e calculamos as segundas derivadas parciais explicitamente.

Passo 8

Cálculo das derivadas:
Derivando em relação a x:
\frac{\partial E}{\partial x}=2E_m\cdot k\cos(kx)\cos(\omega t),
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}=2E_m\cdot(-k^2)\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t)=-k^2 E(x,t).
Derivando em relação a t:
\frac{\partial E}{\partial t}=2E_m\operatorname{sen}(kx)\cdot(-\omega)\operatorname{sen}(\omega t)=-2E_m\omega\operatorname{sen}(kx)\operatorname{sen}(\omega t),
\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}= -2E_m\omega^2\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t)=-\omega^2 E(x,t).

Passo 9

Substituindo as segundas derivadas na equação de onda:
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \quad\Rightarrow\quad (-k^2)E(x,t)=\frac{1}{v^2}(-\omega^2)E(x,t).
Se E(x,t) não é identicamente nula, podemos cancelar E(x,t) e os sinais menos, obtendo
k^2=\frac{\omega^2}{v^2}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{\omega}{k}.

Passo 10

Agora relacionamos \omega e k com frequência e comprimento de onda. Por definição:
\omega=2\pi f,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Substituindo em v=\omega/k:
v=\frac{2\pi f}{2\pi/\lambda}=f\lambda.
Portanto mostramos explicitamente que
\boxed{v=\lambda f.}
Interpretação: a velocidade da onda é o produto do comprimento de onda pela frequência — fórmula muito usada em acústica, EM e ondas em geral.

Resposta

\;E(x,t)=2E_m\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t).\n
Nós: \;x=\dfrac{n\pi}{k}=n\dfrac{\lambda}{2},\; n\in\mathbb{Z}.\n
Ventres: \;x=\dfrac{(2n+1)\pi}{2k}=(2n+1)\dfrac{\lambda}{4},\; n\in\mathbb{Z}.\n
\;v=\lambda f.

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