Forno de microondas: O princípio físico de funcionamento do forno de microondas está ligado às ondas eletromagnéticas estacionárias. Considerando então que os módulos dos campos elétricos, de duas ondas eletromagńeticas, são dados por
e
. (a) Aplicando o princípio da superposição, encontre o módulo do campo elétrico estacionário resultante do processo de interferência e indique as posições de amplitude nula (nós) e as de máxima amplitude (ventres) da onda eletromagńtica. (b) A partir da expressão obtida para o módulo do campo elétrico resultante e da equação de onda, mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas ondas eletromagnéticas com os módulos dos campos elétricos:
O que se pede:
- (a) Aplicar o princípio da superposição e encontrar o módulo do campo elétrico resultante da interferência — ou seja, a expressão do campo estacionário resultante — e indicar as posições dos nós (amplitude nula) e dos ventres (máxima amplitude).
- (b) A partir da expressão obtida e da equação de onda, mostrar que
.
Informações dadas (resumidas):
é a amplitude de cada onda incidente;
é o número de onda;
é a frequência angular; as ondas têm sinais opostos no termo temporal, sugerindo uma onda andando para a direita e outra para a esquerda com mesma amplitude e frequência.
Passo 2
Princípio da superposição: o campo resultante é a soma das duas ondas pontual a ponto. Vamos somar as duas expressões:
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental para soma de senos:
Aqui
e
. Calculemos os média e a metade da diferença:
Como
, obtemos a soma simplificada.
Passo 3
Aplicando a identidade ao campo:
Explicando cada termo:
-
é a amplitude máxima espacial multiplicativa (o fator 2 vem da soma das amplitudes iguais). -
é a função que determina a dependência espacial da amplitude — é o “envelope” espacial. -
descreve a oscilação temporal em cada ponto fixo .
Portanto temos uma onda estacionária (fica fixa em posição, com amplitude variando espacialmente), dada por
Passo 4
Nós (pontos de amplitude nula): ocorrrem quando a amplitude espacial
é zero, porque então, para qualquer tempo, o produto é zero. Então impomos
Daí as posições dos nós são
Interpretação: são pontos fixos onde o campo elétrico permanece sempre nulo — a energia ali é mínima.
Passo 5
Ventres (antínodos, máxima amplitude): ocorrem quando o módulo de
é máximo, ou seja
. Isso acontece quando
Portanto as posições dos ventres são
Nesses pontos a amplitude espacial vale
e a amplitude temporal
faz o campo oscilar entre
.
Passo 6
Relacionando com o comprimento de onda
: por definição do número de onda,
Substituindo em nós e ventres obtemos posições em função de
:
Nós:
Nós:
Ventres:
Conclusão prática: nós separados por
, ventres a cada
também, intercalados entre si (nó, ventre, nó, …).
Passo 7
Para (b) usamos a equação de onda unidimensional para o campo elétrico (forma usual):
onde
é a velocidade de propagação da onda (no meio).
Pegamos a solução encontrada
e calculamos as segundas derivadas parciais explicitamente.
Passo 8
Cálculo das derivadas:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Derivando em relação a
:
Passo 9
Substituindo as segundas derivadas na equação de onda:
Se
não é identicamente nula, podemos cancelar
e os sinais menos, obtendo
Passo 10
Agora relacionamos
e
com frequência e comprimento de onda. Por definição:
Substituindo em
:
Portanto mostramos explicitamente que
Interpretação: a velocidade da onda é o produto do comprimento de onda pela frequência — fórmula muito usada em acústica, EM e ondas em geral.
Resposta
Nós:
Ventres: