A posição de uma partícula em função do tempo é:
R=4 sin (2 pi t) i+4 cos (2 pi t) j
onde R está dado em metros e t em segundos. Determine v e mostre que x vx=-y vy.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição da partícula é
R(t) = 4,sin(2pi t),i ;+; 4,cos(2pi t),j
Isso é um problema de cinemática (velocidade) e cálculo (derivada). A gente vai precisar saber:
  • Como derivar sin e cos.
  • Regra da cadeia (porque o argumento é 2pi t).
    O que a gente quer:
  1. Encontrar v(t) = dfracdRdt.
  2. Mostrar que x,vx = -,y,vy.

Passo 2

Primeiro, lembra a teoria básica de derivadas:
  • dfracddt[sin(u)] = cos(u),dfracdudt,
  • dfracddt[cos(u)] = -sin(u),dfracdudt.
    Aqui u(t)=2pi t, então dfracdudt=2pi.
Vamos achar vx = dfracdxdt, com x=4sin(2pi t):
vx = ddtl[4sin(2pi t)r] = 4 ,cos(2pi t),ddt(2pi t) = 4cdot cos(2pi t)cdot 2pi = 8pi,cos(2pi t)

Passo 3

Agora vy = dfracdydt, com y=4cos(2pi t):
vy = ddtl[4cos(2pi t)r] = 4,l(-sin(2pi t)r),ddt(2pi t) = -4sin(2pi t)cdot 2pi = -8pi,sin(2pi t)
Assim, juntando em vetor:
v(t) = vx,i + vy,j = 8pi,cos(2pi t),i ;-;8pi,sin(2pi t),j

Passo 4

Agora a gente mostra que x,vx = -,y,vy.
Substitui:
x = 4sin(2pi t), vx = 8picos(2pi t),
y = 4cos(2pi t), vy = -8pisin(2pi t)
Calcula o lado esquerdo:
x,vx = l(4sin(2pi t)r)l(8picos(2pi t)r) = 32pi,sin(2pi t)cos(2pi t)
E o lado direito (com sinal negativo):
-,y,vy = -l(4cos(2pi t)r)l(-8pisin(2pi t)r) = +32pi,cos(2pi t)sin(2pi t)
Como sin(2pi t)cos(2pi t)=cos(2pi t)sin(2pi t), dá certinho
x,vx = -,y,vy

Resposta

boxedv(t) = 8pi,cos(2pi t),i ;-;8pi,sin(2pi t),j,
e fica provado que
x,vx = -,y,vy

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