A posição de uma partícula em função do tempo é:
R=4 sin (2 pi t) i+4 cos (2 pi t) j
onde R está dado em metros e t em segundos. Mostre que a trajetória desta partícula é um círculo com raio igual a 4 m e centro na origem.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula é
R(t)=4sin(2pi t),i+4cos(2pi t),j
Queremos mostrar que a trajetória dessa partícula é um círculo de raio 4 m centrado na origem.
Matéria: funções vetoriais e curvas paramétricas em plano.
O que vamos precisar:
  • Separar as componentes e .
  • Usar a ideia de eliminar o parâmetro para obter uma equação em e .
  • Saber que a equação representa um círculo de raio centrado em (0,0).

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes:
x(t)=4sin(2pi t), y(t)=4cos(2pi t)
Lembra que, em curvas paramétricas, a gente costuma “eliminar” pra ver a forma geométrica.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica x^2+y^2 = l(4sin(2pi t)r)^2 + l(4cos(2pi t)r)^2 = 16sin^2(2pi t) +16cos^2(2pi t) =16l(sin^2(2pi t)+cos^2(2pi t)r) =16cdot1 =16 .
Calcula:

Passo 4

Como obtivemos
x^2 + y^2 =16,
isso é exatamente a equação de um círculo de raio metros, centrado na origem .

Resposta

A trajetória é um círculo de raio 4 m com centro na origem.

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