O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina
:
Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine:
i) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações.
ii) a deformação de cisalhamento máxima.
i) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações.
ii) a deformação de cisalhamento máxima.
Passo 1
O enunciado fornece as deformações medidas na superfície da placa e pede duas coisas. Dados fornecidos:
e a razão de Poisson
. A condição adicional é: a superfície da placa está livre de tensão (ou seja, condição de contorno na espessura).
Perguntas:
i) Determinar a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (máxima cisalhamento no plano ).
ii) Determinar a deformação de cisalhamento máxima (considerando as três direções, ou seja, a máxima cisalhamento no estado tridimensional correspondente).
i) Determinar a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (máxima cisalhamento no plano
ii) Determinar a deformação de cisalhamento máxima (considerando as três direções, ou seja, a máxima cisalhamento no estado tridimensional correspondente).
Passo 2
Primeiro conceito importante (didático e rápido): “superfície livre de tensão” para uma placa fina significa condição de plane stress (tensão normal através da espessura
). Nessa situação, pela teoria da elasticidade linear isotrópica, a componente de deformação na direção
(espessura) é dada por
Explicando por que: as equações de Hooke generalizadas relacionam
e
. Impondo
e eliminando
chega-se à expressão acima; é uma fórmula padrão para placas em estado de plano de tensões. Vou usar essa expressão para obter
, que será necessária para a parte (ii).
Passo 3
Calculemos
usando a fórmula indicada:
Aplicando
com
:
Passo 4
Agora vamos achar as deformações principais no plano
(isto é útil para a parte (i)). Fórmulas úteis (transformação de deformações):
defina a média e o raio (os nomes são clássicos em círculos de Mohr):
defina a média e o raio (os nomes são clássicos em círculos de Mohr):
As deformações principais no plano são
Essas fórmulas vêm da transformação de eixos (mesma ideia do círculo de Mohr, adaptado para deformações). Vamos calcular numericamente.
Passo 5
Calcule
e
:
Agora
Portanto as deformações principais no plano são
Passo 6
(i) Deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações.
Relação útil e didática: a máxima deformação de cisalhamento (engenharia) obtida por rotação dentro do plano
é igual à diferença entre as deformações principais nesse plano:
(Alternativamente pode-se usar a fórmula equivalente
; ambas são algebraicamente equivalentes.)
Calcule:
Passo 7
(ii) Deformação de cisalhamento máxima considerando as três direções (3D).
Agora temos as três deformações principais completas:
e
(do plano) e
(calculada no Passo 3). Relembrando os valores:
A máxima deformação de cisalhamento (engenharia) em 3D é a maior diferença entre quaisquer duas deformações principais:
Calcule as diferenças:
A maior diferença é
. Portanto