O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina operatorname{com} \nu=1 / 4 :
\epsilon_{x}=-6 \times 10^{-4} ; \epsilon_{y}=-4 \times 10^{-4} ; \gamma_{x y}=3,5 \times 10^{-4}
Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine:
i) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações.
ii) a deformação de cisalhamento máxima.

Passo 1

O enunciado fornece as deformações medidas na superfície da placa e pede duas coisas. Dados fornecidos:
\epsilon_x = -6\times10^{-4},\qquad \epsilon_y = -4\times10^{-4},\qquad \gamma_{xy}=3{,}5\times10^{-4},
e a razão de Poisson \nu = \tfrac{1}{4}. A condição adicional é: a superfície da placa está livre de tensão (ou seja, condição de contorno na espessura).
Perguntas:
i) Determinar a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (máxima cisalhamento no plano xy).
ii) Determinar a deformação de cisalhamento máxima (considerando as três direções, ou seja, a máxima cisalhamento no estado tridimensional correspondente).

Passo 2

Primeiro conceito importante (didático e rápido): “superfície livre de tensão” para uma placa fina significa condição de plane stress (tensão normal através da espessura \sigma_z=0). Nessa situação, pela teoria da elasticidade linear isotrópica, a componente de deformação na direção z (espessura) é dada por
\epsilon_z = -\nu\;(\epsilon_x+\epsilon_y).
Explicando por que: as equações de Hooke generalizadas relacionam \epsilon e \sigma. Impondo \sigma_z=0 e eliminando \sigma_z chega-se à expressão acima; é uma fórmula padrão para placas em estado de plano de tensões. Vou usar essa expressão para obter \epsilon_z, que será necessária para a parte (ii).

Passo 3

Calculemos \epsilon_z usando a fórmula indicada:
\epsilon_x+\epsilon_y = -6\times10^{-4} + (-4\times10^{-4}) = -1\times10^{-3}.
Aplicando \epsilon_z = -\nu(\epsilon_x+\epsilon_y) com \nu=\tfrac{1}{4}:
\epsilon_z = -\tfrac{1}{4}\cdot(-1\times10^{-3}) = 0{,}25\times10^{-3} = 2{,}5\times10^{-4}.

Passo 4

Agora vamos achar as deformações principais no plano xy (isto é útil para a parte (i)). Fórmulas úteis (transformação de deformações):
defina a média e o raio (os nomes são clássicos em círculos de Mohr):
\epsilon_\text{m} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 }.
As deformações principais no plano são
\epsilon_{1,2} = \epsilon_\text{m}\pm R.
Essas fórmulas vêm da transformação de eixos (mesma ideia do círculo de Mohr, adaptado para deformações). Vamos calcular numericamente.

Passo 5

Calcule \epsilon_\text{m} e R:
\epsilon_\text{m}=\frac{-6\times10^{-4}+(-4\times10^{-4})}{2}=-5\times10^{-4}.
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{-6\times10^{-4}-(-4\times10^{-4})}{2}=\frac{-2\times10^{-4}}{2}=-1\times10^{-4}.
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{3{,}5\times10^{-4}}{2}=1{,}75\times10^{-4}.
Agora
R=\sqrt{(-1\times10^{-4})^2+(1{,}75\times10^{-4})^2}=\sqrt{1\times10^{-8}+3{,}0625\times10^{-8}}=\sqrt{4{,}0625\times10^{-8}}=2{,}0156\times10^{-4}.
Portanto as deformações principais no plano são
\epsilon_1=\epsilon_\text{m}+R=-5\times10^{-4}+2{,}0156\times10^{-4}=-2{,}9844\times10^{-4},
\epsilon_2=\epsilon_\text{m}-R=-5\times10^{-4}-2{,}0156\times10^{-4}=-7{,}0156\times10^{-4}.

Passo 6

(i) Deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações.
Relação útil e didática: a máxima deformação de cisalhamento (engenharia) obtida por rotação dentro do plano xy é igual à diferença entre as deformações principais nesse plano:
\gamma_{\max,\text{plano}}=\epsilon_1-\epsilon_2.
(Alternativamente pode-se usar a fórmula equivalente \gamma_{\max,\text{plano}}=\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}; ambas são algebraicamente equivalentes.)
Calcule:
\gamma_{\max,\text{plano}}=\epsilon_1-\epsilon_2=(-2{,}9844\times10^{-4})-(-7{,}0156\times10^{-4})=4{,}0312\times10^{-4}.

Passo 7

(ii) Deformação de cisalhamento máxima considerando as três direções (3D).
Agora temos as três deformações principais completas: \epsilon_1 e \epsilon_2 (do plano) e \epsilon_3=\epsilon_z (calculada no Passo 3). Relembrando os valores:
\epsilon_1\approx -2{,}9844\times10^{-4},\quad \epsilon_2\approx -7{,}0156\times10^{-4},\quad \epsilon_3= 2{,}5\times10^{-4}.
A máxima deformação de cisalhamento (engenharia) em 3D é a maior diferença entre quaisquer duas deformações principais:
\gamma_{\max}=\max\{\,|\epsilon_1-\epsilon_2|,\;|\epsilon_2-\epsilon_3|,\;|\epsilon_3-\epsilon_1|\,\}.
Calcule as diferenças:
\epsilon_1-\epsilon_2=4{,}0312\times10^{-4}\quad(\text{já calculado}),á
\epsilon_3-\epsilon_1=2{,}5\times10^{-4}-(-2{,}9844\times10^{-4})=5{,}4844\times10^{-4},
\epsilon_3-\epsilon_2=2{,}5\times10^{-4}-(-7{,}0156\times10^{-4})=9{,}5156\times10^{-4}.
A maior diferença é 9{,}5156\times10^{-4}. Portanto
\gamma_{\max}=9{,}5156\times10^{-4}.

Resposta

\gamma_{\max,\text{plano}}=4{,}03\times10^{-4}
\gamma_{\max}=9{,}52\times10^{-4}

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