A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=15,72+ 4,50 t^{3}, onde x está em metros e t em segundos. Calcule: (Valor \mathbf{2 , 0} )
a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00 \mathrm{~s} a t=3,00 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo:
x=15,72+4,50\,t^{3},
onde x está em metros e t em segundos. O que se pede é a velocidade média no intervalo de tempo entre t=2,00\\ \mathrm{s} e t=3,00\\ \mathrm{s}.
Dados relevantes:
  • Função posição: x(t)=15,72+4,50\,t^{3} (metros).
  • Intervalo de tempo: de t_{1}=2,00\\ \mathrm{s} até t_{2}=3,00\\ \mathrm{s}.
  • Pedido: velocidade média durante esse intervalo.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar. A velocidade média num intervalo é a variação da posição dividida pela variação do tempo:
v_{\text{média}}=\frac{\Delta x}{\Delta t},é
onde \Delta x=x(t_{2})-x(t_{1}) e \Delta t=t_{2}-t_{1}. As unidades serão metros por segundo \left(\mathrm{m/s}\right) porque \Delta x está em metros e \Delta t em segundos.

Passo 3

Calcular x em t_{1}=2,00\\ \mathrm{s}.
Primeiro calcule o cubo de t_{1}:
(2,00)^{3}=8.
Agora substitua na expressão de x(t):
x(2,00)=15,72+4,50\cdot 8.
Calcule o produto:
4,50\cdot 8=36,00.
Somando:
x(2,00)=15,72+36,00=51,72\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular x em t_{2}=3,00\\ \mathrm{s}.
Primeiro o cubo:
(3,00)^{3}=27.
Substituindo:
x(3,00)=15,72+4,50\cdot 27.
Calcule o produto:
4,50\cdot 27=121,50.
Somando:
x(3,00)=15,72+121,50=137,22\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a variação de posição e a velocidade média.
Variação de posição:
\Delta x = x(3,00)-x(2,00)=137,22-51,72=85,50\\ \mathrm{m}.
Variação de tempo:
\Delta t = 3,00-2,00=1,00\\ \mathrm{s}.
Agora a velocidade média:
v_{\text{média}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{85,50}{1,00}=85,50\\ \mathrm{m/s}.é
Observação didática rápida: a velocidade média dá a “taxa média de deslocamento” no intervalo. Se for preciso a velocidade num instante específico, usa-se a derivada v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Para esta função:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(15,72+4,50\,t^{3}\bigr)=13,50\,t^{2},
mas isso é para velocidade instantânea, não pedida aqui.

Resposta

85,50\\ \mathrm{m/s}

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