A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=15,72+ 4,50 t^{3}, onde x está em metros e t em segundos. Calcule: (Valor \mathbf{2 , 0} )
a velocidade instantânea em t=3,00 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como
x(t)=15,72+4,50\,t^{3},
com x em metros e t em segundos. A pergunta é: calcular a velocidade instantânea da partícula no instante t=3,00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

O que é velocidade instantânea? É a taxa de variação da posição em relação ao tempo num instante. Matematicamente define-se por
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}.
Aqui v(t) é a velocidade instantânea em função do tempo, x(t) é a posição em função do tempo, e h é um incremento pequeno de tempo. Na prática, quando x(t) é dada por uma função polinomial, calculamos essa limite tomando a derivada da função x(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos obter a derivada de x(t). Primeiro, a derivada de uma constante é zero, logo a derivada de 15,72 é 0. Resta derivar 4,50\,t^{3}.
Mostro rapidamente por que a derivada de t^{3} é 3t^{2} usando a definição de limite:
\frac{(t+h)^{3}-t^{3}}{h}=\frac{t^{3}+3t^{2}h+3th^{2}+h^{3}-t^{3}}{h}=3t^{2}+3th+h^{2}.
Tomando h\to 0 obtemos 3t^{2}. Assim \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
Usando essa regra (regra do poder), a derivada de uma constante multiplicada por uma potência é o produto da constante pelo expoente vezes a potência reduzida em uma unidade. Ou seja, para a\,t^{n},
\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{n}\bigr)=a\,n\,t^{n-1}.
Aplicando ao termo 4,50\,t^{3}:
\frac{d}{dt}\bigl(4,50\,t^{3}\bigr)=4,50\cdot 3\,t^{2}=13,50\,t^{2}.
Portanto a velocidade em função do tempo é
v(t)=13,50\,t^{2}.

Passo 4

Agora avalio a velocidade no instante t=3,00\\ \mathrm{s}:
v(3,00)=13,50\cdot(3,00)^{2}.
Calculo passo a passo: (3,00)^{2}=9. Então
v(3,00)=13,50\cdot 9=121,5.
Uma forma de multiplicar manualmente: 13\cdot9=117 e 0,50\cdot9=4,5; somando 117+4,5=121,5.

Passo 5

Colocando a unidade, a velocidade é 121,5\\ \mathrm{m/s}. O sinal positivo indica que a partícula está se movendo no sentido positivo do eixo x naquele instante. Dica para a prova: derive corretamente o termo t^{3} (multiplicar por 3) e cuidado com as vírgulas decimais — praticar essa multiplicação rápida ajuda a não errar por descuido.

Resposta

121,5\\ \mathrm{m/s}

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