A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=15,72+ 4,50 t^{3}, onde x está em metros e t em segundos. Calcule: (Valor \mathbf{2 , 0} )
a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em t=2,00 \mathrm{~s} e t=3,00 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como
x(t)=15,72+4,50\,t^{3},
com x em metros e t em segundos. Pede-se a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em t=2{,}00\\ \mathrm{s} e t=3{,}00\\ \mathrm{s}.
Informações dadas:
  • A função posição é x(t)=15,72+4,50\,t^{3}.
  • Dois instantes de referência: t=2{,}00\\ \mathrm{s} e t=3{,}00\\ \mathrm{s}.
  • “Metade da distância entre as posições em t=2{,}00\\ \mathrm{s} e t=3{,}00\\ \mathrm{s}” significa o ponto médio da posição: x_{\text{meio}}=\dfrac{x(2)+x(3)}{2}.

Passo 2

Calcular x(2) e x(3).
x(2)=15,72+4,50\cdot 2^{3}=15,72+4,50\cdot 8=15,72+36=51,72\\ \mathrm{m}.
x(3)=15,72+4,50\cdot 3^{3}=15,72+4,50\cdot 27=15,72+121,50=137,22\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a posição intermediária (metade da distância):
x_{\text{meio}}=\frac{x(2)+x(3)}{2}=\frac{51,72+137,22}{2}=\frac{188,94}{2}=94,47\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Encontrar o instante t_{\text{meio}} tal que x(t_{\text{meio}})=x_{\text{meio}}. Resolver
15,72+4,50\,t_{\text{meio}}^{3}=94,47.
Isolando t_{\text{meio}}^{3}:
4,50\,t_{\text{meio}}^{3}=94,47-15,72=78,75,
t_{\text{meio}}^{3}=\frac{78,75}{4,50}=17,5,
t_{\text{meio}}=\sqrt[3]{17,5}.
Aproximação numérica: 2,596^{3}\approx17,495 e 2,597^{3}\approx17,515, logo
t_{\text{meio}}\approx2,596\\ \mathrm{s}
(mais precisamente t_{\text{meio}}\approx2,59625\\ \mathrm{s}, mas três casas são suficientes para a prova).

Passo 5

Lembrete didático: velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade instantânea v(t) é
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Para potências de t, a regra é \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}. Aplicando à nossa função:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(15,72+4,50\,t^{3}\bigr)=0+4,50\cdot 3\,t^{2}=13,5\,t^{2}.
Aqui t está em segundos e v em metros por segundo.

Passo 6

Avaliar v no instante t_{\text{meio}}=\sqrt[3]{17,5}.
Expressão exata:
v(t_{\text{meio}})=13,5\left(\sqrt[3]{17,5}\right)^{2}.
Valor numérico: usando t_{\text{meio}}\approx2,596\\ \mathrm{s},
v(t_{\text{meio}})=13,5\cdot(2,596)^{2}\approx13,5\cdot6,739\approx90,99\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando convenientemente (duas casas significativas compatíveis com dados), temos
v\approx91{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

91{,}0\\ \mathrm{m/s}

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