A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r=(2,0t³ - 5,0t)i+(6,0 - 7,0t4)j, com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: a)r, b)v e c)a para t=2s. d)Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente á trajetória da partícula em t=2s?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula em um plano xy, onde a posição dela é dada por um vetor $ \vec{r}(t) $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, além de entender como calcular o ângulo de uma reta tangente à trajetória. Vamos por partes!
Passo 2
a) Calcular $ \vec{r}(t) $ na notação de vetores unitários
A posição $ \vec{r}(t) $ já está dada na forma de vetores unitários $ \vec{i} $ e $ \vec{j} $:
Então, essa é a posição da partícula em qualquer instante $ t $.
Passo 3
b) Calcular a velocidade $ \vec{v}(t) $
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de $ \vec{r}(t) $:
Derivando termo a termo:
Passo 4
c) Calcular a aceleração $ \vec{a} $ para $ t = 2,s $
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Primeiro, vamos derivar $ \vec{v}(t) $:
Derivando termo a termo:
Agora, substituindo $ t = 2,s $:
Passo 5
d) Calcular o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e a reta tangente à trajetória da partícula em $ t = 2,s $
Para encontrar esse ângulo, vamos usar a velocidade no instante $ t = 2,s $, pois a reta tangente à trajetória é dada pela direção da velocidade.
Primeiro, encontramos $ \vec{v}(2) $:
O ângulo $ \theta $ com o eixo x é dado por:
Calculando:
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo x, o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e a reta tangente é aproximadamente $ 85^\circ $.
Resposta
a) $ \vec{r}(t) = (2.0, t^3 - 5.0, t) \vec{i} + (6.0 - 7.0, t^4) \vec{j} $
b) $ \vec{v}(t) = (6.0, t^2 - 5.0) \vec{i} + (-28.0, t^3) \vec{j} $
c) $ \vec{a}(2) = 24.0, \vec{i} - 336.0, \vec{j}\ m/s^2 $
d) O ângulo entre o sentido positivo do eixo x e a reta tangente à trajetória em $ t = 2,s $ é aproximadamente $ 85^\circ $.