Para quais valores de t a partícula está em repouso?
Passo 1
O enunciado dá as posições da partícula no plano por meio de duas funções de tempo:
x(t)=t^{3}-3 t^{2}-18 t+5
y(t)=t^{3}-9 t^{2}+6 t+4
A pergunta é: para quais valores de t a partícula está em repouso?
Passo 2
O que significa “estar em repouso” aqui? Significa que a velocidade instantânea é o vetor nulo. A velocidade é dada pelas derivadas temporais das componentes de posição. Ou seja, definir
v(t) = \big(x'(t),\,y'(t)\big),
e a partícula está em repouso exatamente quando
x'(t)=0 \quad\text{e}\quad y'(t)=0
ao mesmo tempo.
Vou calcular as derivadas usando a regra do poder: a derivada de t^n é n t^{n-1}.
Passo 3
Derivando x(t):
x'(t)=3t^{2}-6t-18.
Fatorando 3:
x'(t)=3\big(t^{2}-2t-6\big).
Derivando y(t):
y'(t)=3t^{2}-18t+6.
Fatorando 3:
y'(t)=3\big(t^{2}-6t+2\big).
Portanto as condições x'(t)=0 e y'(t)=0 são equivalentes a
t^{2}-2t-6=0 \quad\text{e}\quad t^{2}-6t+2=0.
Passo 4
Para existir um t comum que anule as duas expressões, esse t deve anular também a diferença entre elas. Subtraindo: