A posição de uma partícula que se move no plano x y é dada pelas equações paramétricas
x(t)=t^{3}-3 t^{2}-18 t+5 \quad \text { e } \quad y(t)=t^{3}-9 t^{2}+6 t+4
Para quais valores de t a partícula está em repouso?

Passo 1

O enunciado dá as posições da partícula no plano por meio de duas funções de tempo:
x(t)=t^{3}-3 t^{2}-18 t+5
y(t)=t^{3}-9 t^{2}+6 t+4
A pergunta é: para quais valores de t a partícula está em repouso?

Passo 2

O que significa “estar em repouso” aqui? Significa que a velocidade instantânea é o vetor nulo. A velocidade é dada pelas derivadas temporais das componentes de posição. Ou seja, definir
v(t) = \big(x'(t),\,y'(t)\big),
e a partícula está em repouso exatamente quando
x'(t)=0 \quad\text{e}\quad y'(t)=0
ao mesmo tempo.
Vou calcular as derivadas usando a regra do poder: a derivada de t^n é n t^{n-1}.

Passo 3

Derivando x(t):
x'(t)=3t^{2}-6t-18.
Fatorando 3:
x'(t)=3\big(t^{2}-2t-6\big).
Derivando y(t):
y'(t)=3t^{2}-18t+6.
Fatorando 3:
y'(t)=3\big(t^{2}-6t+2\big).
Portanto as condições x'(t)=0 e y'(t)=0 são equivalentes a
t^{2}-2t-6=0 \quad\text{e}\quad t^{2}-6t+2=0.

Passo 4

Para existir um t comum que anule as duas expressões, esse t deve anular também a diferença entre elas. Subtraindo:
\big(t^{2}-6t+2\big)-\big(t^{2}-2t-6\big) = -4t+8.
Se as duas expressões fossem zero, teríamos
-4t+8=0 \quad\Rightarrow\quad t=2.
Logo qualquer candidato a solução comum teria que ser t=2. Agora verifico t=2 numa das expressões:
t^{2}-2t-6 \big|_{t=2} = 4-4-6 = -6 \neq 0.
Portanto t=2 não satisfaz t^{2}-2t-6=0. Logo não existe t que zere simultaneamente as duas expressões.

Passo 5

Uma verificação alternativa (para fixar a intuição): as raízes de t^{2}-2t-6=0 são
t=1\pm\sqrt{7},
e as raízes de t^{2}-6t+2=0 são
t=3\pm\sqrt{7}.
Claramente nenhum valor de 1\pm\sqrt{7} coincide com algum de 3\pm\sqrt{7} (os pares diferem em 2). Logo não há raiz comum.

Resposta

A partícula nunca está em repouso para qualquer t\in\mathbb{R}.

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