Questão 3) Uma casca esférica de raio interno a e raio externo R está carregada com densidade volumétrica de carga uniforme, dada por \rho. Determine o campo elétrico em (a) a<r<R e (b) r<a.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica com raio interno a e raio externo R, carregada com densidade volumétrica uniforme \rho. As perguntas são:
  • (a) Determinar o campo elétrico para a<r<R (ou seja, num ponto dentro do material da casca, a distância radial r do centro satisfazendo a<r<R).
  • (b) Determinar o campo elétrico para r<a (ou seja, num ponto dentro do vazio central da casca).
Informações relevantes fornecidas:
  • Geometria: casca esférica com cavidade interna de raio a e fronteira externa em R.
  • Carga distribuída volumetricamente apenas na região a\le r\le R com densidade constante \rho.
  • Queremos E(r) (módulo e direção) nas duas regiões pedidas.

Passo 2

Ideia física e ferramenta que vamos usar (em palavras simples): por simetria esférica o campo elétrico, se existir, deve ser radial (apontando para fora se \rho>0) e ter mesmo módulo em todos os pontos de uma esfera de raio r. A lei que relaciona o campo à carga envolvida é a Lei de Gauss:
\oint_{\text{superf}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície gaussiana escolhida e \epsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo. Vou explicar cada termo:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetor da superfície (direcionado radialmente na superfície esférica).
  • A integral de superfície dá E constante sobre a esfera vezes a área total 4\pi r^2, portanto o lado esquerdo vira E\cdot 4\pi r^2.
    Portanto, uma vez que soubermos Q_{\text{enc}} para uma esfera de raio r, temos
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\epsilon_0 r^2}.

Passo 3

Calcular Q_{\text{enc}}(r) para a região a<r<R. Aqui a superfície gaussiana (esfera de raio r) intercepta o material carregado da casca desde r=a até o próprio raio r. Como a densidade é uniforme \rho, a carga contida é o volume carregado multiplicado por \rho.
Volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^3. A carga contida entre as esferas de raio a e r é a diferença dos volumes multiplicada por \rho:
Q_{\text{enc}}(r)=\rho\left(\frac{4}{3}\pi r^3-\frac{4}{3}\pi a^3\right) =\rho\frac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr).
Aqui usei explicitamente que peguei a geometria da casca: a carga presente na região interior até r é a carga do volume esférico de raio r menos a carga do buraco interno (esfera de raio a).

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss com o Q_{\text{enc}}(r) obtido. Substituindo em
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\epsilon_0 r^2}
temos
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^2}\cdot \rho\frac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr).
Agora simplifico fatores numéricos e algébricos passo a passo:
  • O fator 4\pi cancela parcialmente: \dfrac{4\pi}{4\pi}=1.
  • Permanece \dfrac{\rho}{3\epsilon_0}\cdot \dfrac{r^3-a^3}{r^2}.
Portanto,
E(r)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\frac{r^3-a^3}{r^2} =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right).
Direção: por simetria o campo é radial; se \rho>0 aponta para fora. Posso então escrever vetorialmente
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right)\hat{\mathbf r},
onde \hat{\mathbf r} é o versor radial (unitário) apontando para fora do centro.

Passo 5

Verificação rápida de coerência (ideia prática que ajuda em prova): no limite r\to a^+ a expressão dá
E(a^+)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(a-\frac{a^3}{a^2}\right)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}(a-a)=0,
ou seja, o campo se anula exatamente na superfície interna, como esperado já que imediatamente dentro da cavidade não há carga; isso garante continuidade do campo no limite interno. (Essa checagem é útil para evitar erros de sinais ou fatores.)

Passo 6

Calcular E para r<a. Para um raio gaussiano dentro da cavidade interna não há nenhuma carga contida, porque toda a carga está na região a\le r'\le R. Logo
Q_{\text{enc}}(r)=0\quad\text{para }r<a.
Aplicando Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{0}{\epsilon_0}=0\quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Direção: campo nulo, não há componente radial.

Passo 7

Resumo final (para memorização tipo “cola de prova”): usar sempre Gauss com superfície esférica concentricamente; para a<r<R integrar a densidade no volume entre a e r; para r<a a carga interna é zero.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right)\hat{\mathbf r} para a<r<R
(b) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\mathbf{0} para r<a

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