Questão 3) Uma casca esférica de raio interno a e raio externo
está carregada com densidade volumétrica de carga uniforme, dada por
. Determine o campo elétrico em (a)
e (b)
.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica com raio interno
e raio externo
, carregada com densidade volumétrica uniforme
. As perguntas são:
- (a) Determinar o campo elétrico para
(ou seja, num ponto dentro do material da casca, a distância radial do centro satisfazendo ). - (b) Determinar o campo elétrico para
(ou seja, num ponto dentro do vazio central da casca).
Informações relevantes fornecidas:
- Geometria: casca esférica com cavidade interna de raio
e fronteira externa em . - Carga distribuída volumetricamente apenas na região
com densidade constante . - Queremos
(módulo e direção) nas duas regiões pedidas.
Passo 2
Ideia física e ferramenta que vamos usar (em palavras simples): por simetria esférica o campo elétrico, se existir, deve ser radial (apontando para fora se
) e ter mesmo módulo em todos os pontos de uma esfera de raio
. A lei que relaciona o campo à carga envolvida é a Lei de Gauss:
onde
é a carga total contida dentro da superfície gaussiana escolhida e
é a permissividade elétrica do vácuo. Vou explicar cada termo:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é o elemento de área vetor da superfície (direcionado radialmente na superfície esférica). - A integral de superfície dá
constante sobre a esfera vezes a área total , portanto o lado esquerdo vira .
Portanto, uma vez que soubermospara uma esfera de raio , temos
Passo 3
Calcular
para a região
. Aqui a superfície gaussiana (esfera de raio
) intercepta o material carregado da casca desde
até o próprio raio
. Como a densidade é uniforme
, a carga contida é o volume carregado multiplicado por
.
Volume de uma esfera de raio
é
. A carga contida entre as esferas de raio
e
é a diferença dos volumes multiplicada por
:
Aqui usei explicitamente que peguei a geometria da casca: a carga presente na região interior até
é a carga do volume esférico de raio
menos a carga do buraco interno (esfera de raio
).
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss com o
obtido. Substituindo em
temos
Agora simplifico fatores numéricos e algébricos passo a passo:
- O fator
cancela parcialmente: . - Permanece
.
Portanto,
Direção: por simetria o campo é radial; se
aponta para fora. Posso então escrever vetorialmente
onde
é o versor radial (unitário) apontando para fora do centro.
Passo 5
Verificação rápida de coerência (ideia prática que ajuda em prova): no limite
a expressão dá
ou seja, o campo se anula exatamente na superfície interna, como esperado já que imediatamente dentro da cavidade não há carga; isso garante continuidade do campo no limite interno. (Essa checagem é útil para evitar erros de sinais ou fatores.)
Passo 6
Calcular
para
. Para um raio gaussiano dentro da cavidade interna não há nenhuma carga contida, porque toda a carga está na região
. Logo
Aplicando Gauss:
Direção: campo nulo, não há componente radial.
Passo 7
Resumo final (para memorização tipo “cola de prova”): usar sempre Gauss com superfície esférica concentricamente; para
integrar a densidade no volume entre
e
; para
a carga interna é zero.
Resposta
(a)
para
(b)
para