A posição de uma partícula em R^3 é dada por
r(t)=(3 t-t^2) i+(2 t^2) j+(t^3) k
Determine o vetor velocidade e aceleração em t=1.

Passo 1

Resumo do problema: Temos a posição de uma partícula em R^3 dada por uma função vetorial r(t). Queremos descobrir o vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula no instante t = 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Encontrando o vetor velocidade: O vetor velocidade v(t) é a derivada da posição r(t) em relação ao tempo t.
Dada a função posição:
r(t) = (3t - t^2) i + (2t^2) j + (t^3) k
Vamos derivar cada componente:
  • Derivada de 3t - t^2 em relação a t:
ddt(3t - t^2) = 3 - 2t
  • Derivada de 2t^2 em relação a t:
ddt(2t^2) = 4t
  • Derivada de t^3 em relação a t:
ddt(t^3) = 3t^2
Então, o vetor velocidade é:
v(t) = (3 - 2t) i + (4t) j + (3t^2) k

Passo 3

Encontrando o vetor aceleração: O vetor aceleração a(t) é a derivada do vetor velocidade v(t) em relação ao tempo t.
Vamos derivar cada componente de v(t):
  • Derivada de 3 - 2t em relação a t:
ddt(3 - 2t) = -2
  • Derivada de 4t em relação a t:
ddt(4t) = 4
  • Derivada de 3t^2 em relação a t:
ddt(3t^2) = 6t
Então, o vetor aceleração é:
a(t) = (-2) i + (4) j + (6t) k

Passo 4

Avaliando em t = 1:
  • Vetor velocidade em t = 1:
v(1) = (3 - 2(1)) i + (4(1)) j + (3(1)^2) k = i + 4j + 3k
  • Vetor aceleração em t = 1:
a(1) = (-2) i + (4) j + (6(1)) k = -2i + 4j + 6k

Resposta

No instante t = 1, o vetor velocidade é v(1) = i + 4j + 3k e o vetor aceleração é a(1) = -2i + 4j + 6k.

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