A posição de uma partícula em
é dada por
Determine o vetor velocidade e aceleração em
.
Passo 1
Resumo do problema: Temos a posição de uma partícula em
dada por uma função vetorial
. Queremos descobrir o vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula no instante
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Encontrando o vetor velocidade: O vetor velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
.
Dada a função posição:
Vamos derivar cada componente:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, o vetor velocidade é:
Passo 3
Encontrando o vetor aceleração: O vetor aceleração
é a derivada do vetor velocidade
em relação ao tempo
.
Vamos derivar cada componente de
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, o vetor aceleração é:
Passo 4
Avaliando em
:
- Vetor velocidade em
:
- Vetor aceleração em
:
Resposta
No instante
, o vetor velocidade é
e o vetor aceleração é
.