Uma partícula apresenta aceleração dada por
a(t)=(4 t) i+3 j
Se a velocidade inicial é v(0)=(2 i+0 j), determine:
(a) A função velocidade v(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo e a aceleração dela é dada por
a(t) = (4t) i + 3 j
A velocidade inicial dessa partícula é
v(0) = 2 i + 0 j
Nosso objetivo aqui é encontrar a função velocidade v(t). Para isso, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da aceleração nas direções i e j:
ax(t) = 4t e ay(t) = 3
Para encontrar a velocidade, vamos integrar cada componente da aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar ax(t) para encontrar vx(t):
vx(t) = integral ax(t) , dt = integral 4t , dt = 2t^2 + Cx,
onde Cx é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar ay(t) para encontrar vy(t):
vy(t) = integral ay(t) , dt = integral 3 , dt = 3t + Cy,
onde Cy é a constante de integração.

Passo 5

Para determinar as constantes Cx e Cy, usamos as condições iniciais da velocidade. Sabemos que em t = 0, a velocidade é v(0) = 2 i + 0 j.
Substituindo em vx(t):
2 = 2(0)^2 + Cx implies Cx = 2
Substituindo em vy(t):
0 = 3(0) + Cy implies Cy = 0

Resposta

Portanto, a função velocidade é:
v(t) = (2t^2 + 2) i + 3t j

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