Uma partícula apresenta aceleração dada por
Se a velocidade inicial é
, determine:
(b) A função posição
, assumindo
.
(b) A função posição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo, e a aceleração dela é dada por
. A velocidade inicial é
, e a posição inicial é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição
. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função velocidade
integrando a aceleração
. A aceleração nos dá a derivada da velocidade, então para achar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Para a componente
:
Para a componente
:
Agora, precisamos encontrar as constantes de integração
e
usando a condição inicial da velocidade
.
Quando
:
Então, a função velocidade fica:
Passo 3
Agora que temos a velocidade, vamos integrar novamente para encontrar a posição
. A velocidade é a derivada da posição, então a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
A velocidade é:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Para a componente
:
Para a componente
:
Agora, usamos a condição inicial da posição
para encontrar as constantes
e
.
Quando
:
Então, a função posição fica:
Resposta
A função posição é: