Uma partícula apresenta aceleração dada por
a(t)=(4 t) i+3 j
Se a velocidade inicial é v(0)=(2 i+0 j), determine:
(b) A função posição r(t), assumindo r(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está se movendo, e a aceleração dela é dada por a(t) = (4 t) i + 3 j. A velocidade inicial é v(0) = 2 i + 0 j, e a posição inicial é r(0) = 0. Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição r(t). Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade v(t) integrando a aceleração a(t). A aceleração nos dá a derivada da velocidade, então para achar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é:
a(t) = (4t) i + 3 j
Vamos integrar cada componente separadamente.
Para a componente i:
vx(t) = integral 4t , dt = 2t^2 + Cx
Para a componente j:
vy(t) = integral 3 , dt = 3t + Cy
Agora, precisamos encontrar as constantes de integração Cx e Cy usando a condição inicial da velocidade v(0) = 2 i + 0 j.
Quando t = 0:
vx(0) = 2 = 2(0)^2 + Cx Rightarrow Cx = 2
vy(0) = 0 = 3(0) + Cy Rightarrow Cy = 0
Então, a função velocidade fica:
v(t) = (2 + 2t^2) i + (3t) j

Passo 3

Agora que temos a velocidade, vamos integrar novamente para encontrar a posição r(t). A velocidade é a derivada da posição, então a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
A velocidade é:
v(t) = (2 + 2t^2) i + (3t) j
Vamos integrar cada componente separadamente.
Para a componente i:
x(t) = integral (2 + 2t^2) , dt = 2t + 23t^3 + Dx
Para a componente j:
y(t) = integral 3t , dt = 32t^2 + Dy
Agora, usamos a condição inicial da posição r(0) = 0 para encontrar as constantes Dx e Dy.
Quando t = 0:
x(0) = 0 = 2(0) + 23(0)^3 + Dx Rightarrow Dx = 0
y(0) = 0 = 32(0)^2 + Dy Rightarrow Dy = 0
Então, a função posição fica:
r(t) = (2t + 23t^3) i + (32t^2) j

Resposta

A função posição é:
r(t) = (2t + 23t^3) i + (32t^2) j

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