A posição de um projétil é dada por s(t)=-5 t^{2}+20 t+2.
  • Calcule a velocidade do projétil no instante t=2 s. O que esse valor indica sobre o movimento do objeto nesse momento?

Passo 1

O enunciado fornece a posição do projétil em função do tempo:
s(t) = -5 t^{2} + 20 t + 2.
As perguntas são:
  • Calcular a velocidade do projétil no instante t=2\\ \text{s}.
  • Explicar o que esse valor indica sobre o movimento do objeto nesse momento.

Passo 2

O que significa “velocidade” aqui? Velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo: a rapidez com que a posição muda por unidade de tempo. Matematicamente, a velocidade v(t) é a derivada da posição s(t) em relação a t:
v(t) = s'(t).
Unidades: se s(t) está em metros e t em segundos, então v(t) tem unidade \mathrm{m/s}.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicada de forma direta): a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é zero; e a regra de potência diz que a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Assim, para um termo do tipo a t^{n} temos
\frac{d}{dt}\bigl(a t^{n}\bigr) = a \cdot n\, t^{n-1}.
Aplicando isso aos termos que aparecem em s(t) dá tudo o que precisamos.

Passo 4

Derivando termo a termo:
  • Para -5 t^{2}: usar a regra de potência com a=-5 e n=2:
\frac{d}{dt}\bigl(-5 t^{2}\bigr) = -5 \cdot 2\, t^{1} = -10 t.
  • Para 20 t: é termo linear, derivada é a constante multiplicadora:
\frac{d}{dt}\bigl(20 t\bigr) = 20.
  • Para 2 (constante): derivada é zero:
\frac{d}{dt}(2) = 0.
Somando os resultados, obtemos a expressão da velocidade:
v(t) = s'(t) = -10 t + 20.

Passo 5

Agora avaliaremos em t=2\\ \text{s}. Substituindo:
v(2) = -10\cdot 2 + 20 = -20 + 20 = 0.
Portanto a velocidade numérica no instante t=2 é zero.

Passo 6

Interpretação física (explicada passo a passo): velocidade igual a zero significa que, naquele instante, o projétil está instantaneamente em repouso — sua posição não está mudando no instante exato t=2. Para saber se é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão, olhamos a aceleração a(t)=v'(t):
a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(-10 t + 20) = -10.
A aceleração é constante e igual a -10 (unidade \mathrm{m/s^{2}}) — é negativa. Como v(2)=0 e a(2)=-10<0, isso indica que o projétil atingiu o ponto de altura máxima em t=2\\ \text{s}: ele parou momentaneamente e logo em seguida começará a mover-se no sentido contrário (por exemplo, começará a descer). Em termos de cálculo: s'(2)=0 e s''(2)<0 caracterizam um máximo local de s(t).

Passo 7

Dica rápida para a prova (motivação amistosa): quando pedirem velocidade a partir de uma função posição polinomial, derive termo a termo usando a regra de potência. Se quiser interpretar movimento, calcule também a aceleração (segunda derivada) para decidir se a posição naquele instante é máxima ou mínima. Você consegue — respira fundo e aplica a regra!

Resposta

v(2)=0\\ \mathrm{m/s}
Velocidade nula: o projétil está instantaneamente em repouso; como a(t)=-10\\ \mathrm{m/s^{2}}<0, trata-se do ponto de altura máxima (ponto de retorno), ou seja, depois de t=2 o projétil começará a descer.

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