A posição de um projétil é dada por
.
- Calcule a velocidade do projétil no instante
. O que esse valor indica sobre o movimento do objeto nesse momento?
Passo 1
O enunciado fornece a posição do projétil em função do tempo:
As perguntas são:
- Calcular a velocidade do projétil no instante
. - Explicar o que esse valor indica sobre o movimento do objeto nesse momento.
Passo 2
O que significa “velocidade” aqui? Velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo: a rapidez com que a posição muda por unidade de tempo. Matematicamente, a velocidade
é a derivada da posição
em relação a
:
Unidades: se
está em metros e
em segundos, então
tem unidade
.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicada de forma direta): a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é zero; e a regra de potência diz que a derivada de
é
. Assim, para um termo do tipo
temos
Aplicando isso aos termos que aparecem em
dá tudo o que precisamos.
Passo 4
Derivando termo a termo:
- Para
: usar a regra de potência com e :
- Para
: é termo linear, derivada é a constante multiplicadora:
- Para
(constante): derivada é zero:
Somando os resultados, obtemos a expressão da velocidade:
Passo 5
Agora avaliaremos em
. Substituindo:
Portanto a velocidade numérica no instante
é zero.
Passo 6
Interpretação física (explicada passo a passo): velocidade igual a zero significa que, naquele instante, o projétil está instantaneamente em repouso — sua posição não está mudando no instante exato
. Para saber se é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão, olhamos a aceleração
:
A aceleração é constante e igual a
(unidade
) — é negativa. Como
e
, isso indica que o projétil atingiu o ponto de altura máxima em
: ele parou momentaneamente e logo em seguida começará a mover-se no sentido contrário (por exemplo, começará a descer). Em termos de cálculo:
e
caracterizam um máximo local de
.
Passo 7
Dica rápida para a prova (motivação amistosa): quando pedirem velocidade a partir de uma função posição polinomial, derive termo a termo usando a regra de potência. Se quiser interpretar movimento, calcule também a aceleração (segunda derivada) para decidir se a posição naquele instante é máxima ou mínima. Você consegue — respira fundo e aplica a regra!
Resposta
Velocidade nula: o projétil está instantaneamente em repouso; como
, trata-se do ponto de altura máxima (ponto de retorno), ou seja, depois de
o projétil começará a descer.