O movimento de um objeto é descrito pela função de aceleração constante a(t)=12 t-4. Sabe-se que, no instante inicial ( t=0 ), a velocidade do objeto é v(0)=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  • Encontre a função da velocidade v(t) através da integração.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração e uma condição inicial. Vou listar claramente o que temos:
  • A aceleração é a(t)=12t-4.
  • No instante inicial t=0 a velocidade é v(0)=10\\ \mathrm{m/s}.
    O que o problema pede: encontrar a função da velocidade v(t) integrando a aceleração.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Para obter a velocidade a partir da aceleração, integramos em relação ao tempo:
v(t)=\int a(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração que será determinada pela condição inicial. Aqui:
  • v(t) é a velocidade em metros por segundo ( \mathrm{m/s}),
  • t é o tempo em segundos ( \mathrm{s}),
  • C tem as mesmas unidades de velocidade ( \mathrm{m/s}).

Passo 3

Regra de integração que vou usar (pequena aula): a regra do poder para integrais diz que, para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Também, a integral de uma constante k é
\int k\,dt=kt + C.
E a integral de uma soma é a soma das integrais:
\int (f(t)+g(t))\,dt=\int f(t)\,dt + \int g(t)\,dt.

Passo 4

Aplicando a integração à função dada a(t)=12t-4. Faço a integral termo a termo:
v(t)=\int (12t-4)\,dt = \int 12t\,dt - \int 4\,dt.
Agora uso as regras:
\int 12t\,dt = 12\int t\,dt = 12\cdot\frac{t^{2}}{2}=6t^{2},
\int 4\,dt = 4t.
Portanto a primitiva geral é
v(t)=6t^{2}-4t + C,
onde C é a constante de integração (unidade \mathrm{m/s}).

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial v(0)=10. Substituo t=0 em v(t):
v(0)=6\cdot 0^{2}-4\cdot 0 + C = C.
Como v(0)=10, concluo que
C=10.

Passo 6

Substituindo C=10 na expressão de v(t), obtenho a função velocidade final:
v(t)=6t^{2}-4t+10.

Passo 7

Checagem (boa prática): diferenciar v(t) deve retornar a(t). Faço a derivada:
\frac{d}{dt}\bigl(6t^{2}-4t+10\bigr)=12t-4,
que é exatamente a(t). Assim a solução está consistente.

Resposta

v(t)=6t^{2}-4t+10

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