Um robô industrial tem sua velocidade variando conforme a função v(t)=4 t^{3}-2 t. Se a posição inicial do robô é s(0)=2 metros:
  • Encontre a função da posição s(t) para qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do robô e a posição inicial, e pede a função posição para qualquer instante. Informações fornecidas:
  • v(t)=4 t^{3}-2 t.
  • s(0)=2 metros.
    O que é pedido: encontrar s(t) tal que, para todo t, a posição do robô seja dada por s(t) satisfazendo a condição inicial acima.

Passo 2

Relação fundamental entre posição e velocidade: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em linguagem matemática:
v(t)=\frac{d}{dt}s(t).
Isso significa que, para obter s(t), devemos encontrar uma função cuja derivada é v(t). O processo inverso de derivar chama-se integração (ou achar uma primitiva / antiderivada).

Passo 3

Regras de integração que vamos usar (explicadas de forma explícita):
  • Regra do somatório: a antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas. Se f(t)=a(t)+b(t) então \int f(t)\,dt=\int a(t)\,dt+\int b(t)\,dt.
  • Regra da constante: \int c\cdot g(t)\,dt = c\int g(t)\,dt, onde c é constante.
  • Antiderivada de potência (caso geral): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (porque derivadas “perdem” constantes).
Exemplo rápido para fixar: \int 3t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3}+C = t^{3}+C.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso v(t)=4 t^{3}-2 t. Vamos integrar termo a termo:
\int v(t)\,dt = \int \bigl(4 t^{3}\bigr)\,dt - \int \bigl(2 t\bigr)\,dt.
Calcule cada integral separadamente:
\int 4 t^{3}\,dt = 4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4},
\int 2 t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2}.
Portanto a primitiva geral é
s(t)=t^{4}-t^{2}+C,
onde C é a constante de integração que ainda precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Usar a condição inicial s(0)=2 para achar C. Substituindo t=0 em s(t):
s(0)=0^{4}-0^{2}+C=C.
Como s(0)=2, segue que C=2. Então a função posição é
s(t)=t^{4}-t^{2}+2.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito para prova): derivando s(t) deve-se voltar à velocidade v(t). Calculando \dfrac{d}{dt}s(t):
\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}-t^{2}+2\bigr)=4t^{3}-2t,
que coincide com v(t). Tudo conferido. Parabéns — agora dá para calcular a posição em qualquer instante (por exemplo, s(1)=1-1+2=2 metros).

Resposta

s(t)=t^{4}-t^{2}+2

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