Um robô industrial tem sua velocidade variando conforme a função
. Se a posição inicial do robô é
metros:
- Encontre a função da posição
para qualquer instante
.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade do robô e a posição inicial, e pede a função posição para qualquer instante. Informações fornecidas:
-
. -
metros.
O que é pedido: encontrartal que, para todo , a posição do robô seja dada por satisfazendo a condição inicial acima.
Passo 2
Relação fundamental entre posição e velocidade: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em linguagem matemática:
Isso significa que, para obter
, devemos encontrar uma função cuja derivada é
. O processo inverso de derivar chama-se integração (ou achar uma primitiva / antiderivada).
Passo 3
Regras de integração que vamos usar (explicadas de forma explícita):
- Regra do somatório: a antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas. Se
então . - Regra da constante:
, onde é constante. - Antiderivada de potência (caso geral): para
,
onde
é a constante de integração (porque derivadas “perdem” constantes).
Exemplo rápido para fixar: .
Exemplo rápido para fixar:
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso
. Vamos integrar termo a termo:
Calcule cada integral separadamente:
Portanto a primitiva geral é
onde
é a constante de integração que ainda precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Usar a condição inicial
para achar
. Substituindo
em
:
Como
, segue que
. Então a função posição é
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito para prova): derivando
deve-se voltar à velocidade
. Calculando
:
que coincide com
. Tudo conferido. Parabéns — agora dá para calcular a posição em qualquer instante (por exemplo,
metros).