A posição r de uma partícula que se move em um plano x y é dada por r=(2 t^3-4) i+(6-7 t^4) j onde r está em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule (a) r, (b) v e (c) a para t=2 s. (d) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo de x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t=2 s ?

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
r(t) = l(2t^3 - 4r),i + l(6 - 7t^4r),j
e pede, em t=2:s:
  • (a) a própria r,
  • (b) a velocidade v = tfracdrdt,
  • (c) a aceleração a = tfracdvdt,
  • (d) o ângulo entre o semieixo positivo de x e a reta tangente à trajetória (que tem direção de v).
    Vamos usar derivação de componentes para obter v e a, e em seguida theta = arctanl(vy/vxr).

Passo 2

Avaliar a posição em t=2:s:
x(2) = 2cdot2^3 - 4 = 16 - 4 = 12, y(2) = 6 - 7cdot2^4 = 6 - 7cdot16 = 6 - 112 = -106
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r(2) = 12,i - 106,j

Passo 3

Derivando r(t) para obter a velocidade:
v(t) = drdt = l(6t^2r),i + l(-28t^3r),j
Em t=2:
vx = 6cdot2^2 = 24, vy = -28cdot2^3 = -224,
portanto
v(2) = 24,i - 224,j

Passo 4

Derivando v(t) para obter a aceleração:
a(t) = dvdt = l(12tr),i + l(-84t^2r),j
Em t=2:
ax = 12cdot2 = 24, ay = -84cdot2^2 = -84cdot4 = -336,
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a(2) = 24,i - 336,j

Passo 5

A reta tangente tem direção dada por v(2) = (24,,-224). O ângulo theta com o semieixo +x vale
theta = arctan!gl(vyvxgr) = arctan!l(-22424r) approx -83,9^circ
Se quisermos um ângulo positivo medido CCW a partir de +x, podemos usar
theta = 360^circ - 83,9^circ = 276,1^circ

Resposta

(a) r(2,s) = 12,i - 106,j
(b) v(2,s) = 24,i - 224,j
(c) a(2,s) = 24,i - 336,j
(d) theta = arctanl(-224/24r)approx -83,9^circ (ou 276,1^circ medido CCW).

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