Questão 18)Um badalo é composto de duas massas pontuais de 0,5 kg cada ligadas por uma haste de massa desprezível e comprimento 2 m . (a) Encontre o período deste pêndulo físico se a distância entre o ponto de suspensão e a massa de cima for igual a 0,5 m. (b) Mostre que o período deste badalo será mínimo quando este for pivotado em uma de suas massas.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo físico formado por duas massas pontuais iguais m=0,5 kg ligadas por haste de comprimento total L=2 m. No item (a) devemos calcular o período de pequenas oscilações quando o pivô fica a 0,5 m acima da massa de cima. No item (b) devemos mostrar que o período é mínimo quando o pivô coincide com uma das massas. Para isso usaremos a fórmula do período de um pêndulo físico:
T = 2pi raizIM g hcm
onde I é o momento de inércia em relação ao pivô, M a massa total, g a aceleração da gravidade e hcm a distância do pivô ao centro de massa.

Passo 2

Vamos ao item (a). Denotando por d=0,5 m a distância do pivô à massa de cima, as duas massas ficam a distâncias
r1 = d, r2 = d + L
do pivô. Logo o momento de inércia é
I = m,r1^2 + m,r2^2 = 0,5l(d^2 + (d+2)^2r)
O centro de massa do conjunto está a
hcm = m,r1 + m,r22m = d + (d+2)2 = d + 1
abaixo do pivô, e a massa total é M=2m=1 kg.

Passo 3

Substituindo d=0,5 m, g=9,8 m/s^2 e calculando:
I = 0,5l(0,5^2 + 2,5^2r) = 0,5l(0,25 + 6,25r) = 3,25 kg,m^2,
hcm = 0,5 + 1 = 1,5 m
Logo
T = 2pi raiz3,251 cdot 9,8 cdot 1,5 approx 2pi raiz0,2211 approx 2,95 s

Passo 4

No item (b) posicionamos o pivô a uma distância variável x da massa de cima (de 0 até L). As distâncias ficam r1=x e r2=x+L, de modo que
I(x) = ml(x^2 + (x+L)^2r), hcm(x) = x + (x+L)2 = x + L2
O período satisfaz
T^2(x) =4pi^2,I(x)2m,g,hcm(x) =4pi^2,x^2+Lx+tfracL^22g,(x+tfracL2)
Para encontrar o mínimo de T basta minimizar
f(x)=x^2+Lx+tfracL^22x+tfracL2
Derivando e igualando a zero obtém-se
f'(x)=0 Longrightarrow x(x+L)=0 Longrightarrow x=0 (descartamos,x=-L)

Passo 5

O único ponto crítico no intervalo é x=0, ou seja, o pivô coincide com a massa de cima. Nesse ponto T é mínimo, mostrando que o período fica menor quando pivoteamos em uma das massas.

Resposta

(a) Tapprox2,95 s
(b) O período atinge seu valor mínimo quando o pivô coincide com uma das massas, isto é, x=0.

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