Questão 18)Um badalo é composto de duas massas pontuais de
cada ligadas por uma haste de massa desprezível e comprimento 2 m . (a) Encontre o período deste pêndulo físico se a distância entre o ponto de suspensão e a massa de cima for igual a
. (b) Mostre que o período deste badalo será mínimo quando este for pivotado em uma de suas massas.
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo físico formado por duas massas pontuais iguais
ligadas por haste de comprimento total
. No item (a) devemos calcular o período de pequenas oscilações quando o pivô fica a
acima da massa de cima. No item (b) devemos mostrar que o período é mínimo quando o pivô coincide com uma das massas. Para isso usaremos a fórmula do período de um pêndulo físico:
onde
é o momento de inércia em relação ao pivô,
a massa total,
a aceleração da gravidade e
a distância do pivô ao centro de massa.
Passo 2
Vamos ao item (a). Denotando por
a distância do pivô à massa de cima, as duas massas ficam a distâncias
do pivô. Logo o momento de inércia é
O centro de massa do conjunto está a
abaixo do pivô, e a massa total é
.
Passo 3
Substituindo
,
e calculando:
Logo
Passo 4
No item (b) posicionamos o pivô a uma distância variável
da massa de cima (de
até
). As distâncias ficam
e
, de modo que
O período satisfaz
Para encontrar o mínimo de
basta minimizar
Derivando e igualando a zero obtém-se
Passo 5
O único ponto crítico no intervalo é
, ou seja, o pivô coincide com a massa de cima. Nesse ponto
é mínimo, mostrando que o período fica menor quando pivoteamos em uma das massas.
Resposta
(a)
(b) O período atinge seu valor mínimo quando o pivô coincide com uma das massas, isto é, .
(b) O período atinge seu valor mínimo quando o pivô coincide com uma das massas, isto é,