A posição de um sistema massa-mola é dado pela função
, com o tempo dado e segundos e o deslocamento dado em centímetros.
Modificando a mola por outra quatro vezes mais rígida, mas mantendo a energia mecânica total, qual seria a nova amplitude
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Modificando a mola por outra quatro vezes mais rígida, mas mantendo a energia mecânica total, qual seria a nova amplitude
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema massa-mola onde a posição é dada por $ x(t) = 5 \cos(4t + \frac{\pi}{4}) $. Aqui, $ t $ é o tempo em segundos e $ x(t) $ é o deslocamento em centímetros. A pergunta quer saber qual será a nova amplitude $ x_m $ se a mola ficar quatro vezes mais rígida, mas mantendo a energia mecânica total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como a rigidez da mola e a amplitude estão relacionadas à energia mecânica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ de um sistema massa-mola é dada pela fórmula:
onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola (rigidez),
- $ A $ é a amplitude do movimento.
Nesse caso, a energia mecânica está sendo mantida constante, mesmo após mudarmos a mola.
Passo 3
Agora, a mola original tem uma constante elástica $ k $. Quando a mola fica quatro vezes mais rígida, a nova constante elástica $ k’ $ será:
Passo 4
Como a energia mecânica total deve permanecer a mesma, temos:
Substituindo $ k’ $ por $ 4k $:
Passo 5
Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por $ k $:
Passo 6
Resolvendo para $ A’ $:
Passo 7
Sabemos que a amplitude inicial $ A $ é 5 cm. Então:
Resposta
A nova amplitude $ x_m $ é de 2,5 centímetros.