A posição de um sistema massa-mola é dado pela função x(t)=5 cos (4 t+pi / 4), com o tempo dado e segundos e o deslocamento dado em centímetros.
Modificando a mola por outra quatro vezes mais rígida, mas mantendo a energia mecânica total, qual seria a nova amplitude xm?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema massa-mola onde a posição é dada por $ x(t) = 5 \cos(4t + \frac{\pi}{4}) $. Aqui, $ t $ é o tempo em segundos e $ x(t) $ é o deslocamento em centímetros. A pergunta quer saber qual será a nova amplitude $ x_m $ se a mola ficar quatro vezes mais rígida, mas mantendo a energia mecânica total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como a rigidez da mola e a amplitude estão relacionadas à energia mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ de um sistema massa-mola é dada pela fórmula:
E
onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola (rigidez),
- $ A $ é a amplitude do movimento.
Nesse caso, a energia mecânica está sendo mantida constante, mesmo após mudarmos a mola.

Passo 3

Agora, a mola original tem uma constante elástica $ k $. Quando a mola fica quatro vezes mais rígida, a nova constante elástica $ k’ $ será:
k

Passo 4

Como a energia mecânica total deve permanecer a mesma, temos:
12 k A^2 = 12 k' A'^2
Substituindo $ k’ $ por $ 4k $:
k'

Passo 5

Simplificando a equação:
k A^2 = 4k A'^2
Dividindo ambos os lados por $ k $:
k

Passo 6

Resolvendo para $ A’ $:
A'
A'^2 = A^24

Passo 7

Sabemos que a amplitude inicial $ A $ é 5 cm. Então:
A

Resposta

A nova amplitude $ x_m $ é de 2,5 centímetros.

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