O enunciado pede para verificar se a matriz B é diagonalizável e, se for, determinar uma matriz P que a diagonaliza e o produto P^{-1}BP. A matriz dada é:
Se for, encontre uma matriz P cujas colunas são autovetores de B e calcule P^{-1}BP.]
Passo 2
Breve explicação da ideia que vou usar (aula rápida e prática).
Para diagonalizar B procuro autovalores \lambda e autovetores v tais que Bv=\lambda v.
Os autovalores são raízes do polinômio característico \det(B-\lambda I)=0.
Para cada autovalor \lambda encontro o espaço nulo de B-\lambda I (autovetores).
A matriz B é diagonalizável se existir um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes (uma base de \mathbb{R}^3). Equivalentemente, a soma das dimensões dos espaços próprios (multiplicidades geométricas) deve ser 3.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(B-\lambda I).
Logo os autovalores são \lambda=3 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=5 com multiplicidade algébrica 1.]
Passo 4
Explicação sobre multiplicidades e diagonalizabilidade:
A multiplicidade algébrica de \lambda=3 é 2. Para que B seja diagonalizável precisamos que a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio correspondente a \lambda=3) seja também 2.
Vou agora encontrar os autovetores (espaços próprios) para \lambda=3 e \lambda=5 e ver suas dimensões.
Passo 5
Encontrar os autovetores para \lambda=3. Resolver (B-3I)x=0.
As duas últimas são múltiplas da primeira, logo só há uma equação efetiva: x_1+x_2-x_3=0.
Parametrizando com x_2=s, x_3=t temos x_1=t-s. Assim um vetor genérico do espaço próprio é
x=(t-s,\; s,\; t)=s(-1,1,0)+t(1,0,1).
Portanto uma base do espaço próprio de \lambda=3 é, por exemplo,
A multiplicidade geométrica de \lambda=5 é 1, igual à multiplicidade algébrica.]
Passo 7
Conclusão sobre diagonalizabilidade e construção de P e da diagonal.
Já tenho 3 autovetores linearmente independentes v_1,v_2,v_3. Logo B é diagonalizável.
Formo a matriz P cujas colunas são esses autovetores (na mesma ordem em que coloco os autovalores na diagonal da matriz D). Vou usar a ordem \lambda=3,\lambda=3,\lambda=5, então
Verificação rápida (propriedade que garante P^{-1}BP=D): como Bv_1=3v_1, Bv_2=3v_2, Bv_3=5v_3, tem-se BP=PD. Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos P^{-1}BP=D.]
Passo 8
Resumo do procedimento de verificação (motivacional): nós:
calculamos o polinômio característico e encontramos autovalores \{3,3,5\},
resolvemos os sistemas (B-3I)x=0 e (B-5I)x=0 e obtivemos dois autovetores para \lambda=3 e um para \lambda=5,
como há 3 autovetores linearmente independentes, B é diagonalizável,
escolhemos P com essas colunas e obtemos P^{-1}BP=D com D diagonal com as entradas correspondentes aos autovalores.