Verifique se a matriz B é diagonalizável. Caso B seja diagonalizável determine P e P^{-1} B P
B=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 1 & -1 \\\\ 2 & 5 & -2 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz B é diagonalizável e, se for, determinar uma matriz P que a diagonaliza e o produto P^{-1}BP. A matriz dada é:
B=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 5 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
As perguntas que vou responder são:
  • A matriz B é diagonalizável?
  • Se for, encontre uma matriz P cujas colunas são autovetores de B e calcule P^{-1}BP.]

Passo 2

Breve explicação da ideia que vou usar (aula rápida e prática).
  • Para diagonalizar B procuro autovalores \lambda e autovetores v tais que Bv=\lambda v.
  • Os autovalores são raízes do polinômio característico \det(B-\lambda I)=0.
  • Para cada autovalor \lambda encontro o espaço nulo de B-\lambda I (autovetores).
  • A matriz B é diagonalizável se existir um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes (uma base de \mathbb{R}^3). Equivalentemente, a soma das dimensões dos espaços próprios (multiplicidades geométricas) deve ser 3.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(B-\lambda I).
B-\lambda I=\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & -1\\[4pt] 2 & 5-\lambda & -2\\[4pt] 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Faço o determinante pela expansão na primeira linha:
\det(B-\lambda I)=(4-\lambda)\big((5-\lambda)(2-\lambda)+2\big) -1\big(2(2-\lambda)+2\big)+(-1)\big(2-(5-\lambda)\big).
Calculando os termos:
(5-\lambda)(2-\lambda)+2=\lambda^2-7\lambda+12,
2(2-\lambda)+2=6-2\lambda,
2-(5-\lambda)=\lambda-3.
Portanto
\det(B-\lambda I)=(4-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+12)- (6-2\lambda)-(\lambda-3).
Expandindo e simplificando:
\det(B-\lambda I)=-\lambda^3+11\lambda^2-39\lambda+45.
Multiplicando por -1 para fatorar mais facilmente:
\lambda^3-11\lambda^2+39\lambda-45=0.
Testando raízes inteiras divisoras de 45, \lambda=3 é raiz. Fazendo divisão polinomial obtém-se
\lambda^3-11\lambda^2+39\lambda-45=(\lambda-3)^2(\lambda-5).
Logo os autovalores são \lambda=3 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=5 com multiplicidade algébrica 1.]

Passo 4

Explicação sobre multiplicidades e diagonalizabilidade:
  • A multiplicidade algébrica de \lambda=3 é 2. Para que B seja diagonalizável precisamos que a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio correspondente a \lambda=3) seja também 2.
  • Vou agora encontrar os autovetores (espaços próprios) para \lambda=3 e \lambda=5 e ver suas dimensões.

Passo 5

Encontrar os autovetores para \lambda=3. Resolver (B-3I)x=0.
B-3I=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 2 & -2\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
As equações são:
x_1+x_2-x_3=0,
2x_1+2x_2-2x_3=0,
x_1+x_2-x_3=0.
As duas últimas são múltiplas da primeira, logo só há uma equação efetiva: x_1+x_2-x_3=0.
Parametrizando com x_2=s, x_3=t temos x_1=t-s. Assim um vetor genérico do espaço próprio é
x=(t-s,\; s,\; t)=s(-1,1,0)+t(1,0,1).
Portanto uma base do espaço próprio de \lambda=3 é, por exemplo,
v_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A dimensão do espaço próprio é 2, igual à multiplicidade algébrica; isso é ótimo para diagonalização.]

Passo 6

Encontrar o autovetor para \lambda=5. Resolver (B-5I)x=0.
B-5I=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 0 & -2\\[4pt] 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Escrevendo as equações:
-x_1+x_2-x_3=0,\qquad 2x_1-2x_3=0,\qquad x_1+x_2-3x_3=0.
Da segunda equação 2x_1-2x_3=0 vem x_1=x_3. Substituindo na primeira: -x_3+x_2-x_3=0 x_2=2x_3. Tomando x_3=t obtemos a família de autovetores
x=t(1,2,1).
Assim um autovetor para \lambda=5 é
v_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A multiplicidade geométrica de \lambda=5 é 1, igual à multiplicidade algébrica.]

Passo 7

Conclusão sobre diagonalizabilidade e construção de P e da diagonal.
  • Já tenho 3 autovetores linearmente independentes v_1,v_2,v_3. Logo B é diagonalizável.
  • Formo a matriz P cujas colunas são esses autovetores (na mesma ordem em que coloco os autovalores na diagonal da matriz D). Vou usar a ordem \lambda=3,\lambda=3,\lambda=5, então
P=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • A matriz diagonal correspondente é
D=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (propriedade que garante P^{-1}BP=D): como Bv_1=3v_1, Bv_2=3v_2, Bv_3=5v_3, tem-se BP=PD. Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos P^{-1}BP=D.]

Passo 8

Resumo do procedimento de verificação (motivacional): nós:
  • calculamos o polinômio característico e encontramos autovalores \{3,3,5\},
  • resolvemos os sistemas (B-3I)x=0 e (B-5I)x=0 e obtivemos dois autovetores para \lambda=3 e um para \lambda=5,
  • como há 3 autovetores linearmente independentes, B é diagonalizável,
  • escolhemos P com essas colunas e obtemos P^{-1}BP=D com D diagonal com as entradas correspondentes aos autovalores.

Resposta

B é diagonalizável.
P=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad P^{-1}BP=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.]

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