Dê a definição de matriz diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede claramente: dê a definição de matriz diagonalizável.
Não foram dados números ou matrizes específicas — apenas é solicitada a definição e as ideias essenciais relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz D\in M_n(\mathbb{K}) é dita diagonal quando todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero. Em notação:
D=(d_{ij})_{i,j=1}^n,\quad d_{ij}=0\\ \text{se}\\ i\neq j.
Ou seja, D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) significa
D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}.
Uma matriz diagonal é muito simples de trabalhar: seus efeitos em vetores são fáceis de entender coordenada a coordenada.]

Passo 3

Agora precisamos entender o que significa transformar uma matriz para outra por mudança de base. Dizemos que A,B\in M_n(\mathbb{K}) são semelhantes se existe uma matriz invertível P\in GL_n(\mathbb{K}) tal que
B = P^{-1} A P.
Essa igualdade corresponde a descrever a mesma transformação linear em duas bases diferentes: A representa a transformação numa base e B representa a mesma transformação em outra base ligada pela matriz P.

Passo 4

Com essas ideias, chegamos à definição operacional (a que costuma cair em prova): uma matriz A\in M_n(\mathbb{K}) é diagonalizável se existe uma matriz invertível P\in GL_n(\mathbb{K}) tal que
P^{-1} A P = D,
onde D é uma matriz diagonal. Esse é o enunciado padrão. Vou explicar o que isso implica na prática.

Passo 5

Interpretação prática importante (rasgando o mistério): escreva P=[v_1\\ \cdots\\ v_n] como matriz cujas colunas são vetores de \mathbb{K}^n, e escreva
D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).
A igualdade P^{-1}AP=D é equivalente a
AP = P D,
ou seja, para cada coluna v_j de P vale
A v_j = \lambda_j v_j.
Portanto as colunas de P são autovetores (vetores próprios) de A e os elementos \lambda_j na diagonal de D são os autovalores correspondentes. Resumindo: diagonalizar A significa encontrar uma base de autovetores de \mathbb{K}^n; na base formada por esses autovetores, a matriz da transformação fica diagonal.

Passo 6

Condição equivalente e prática de verificação: A é diagonalizável se e só se existe uma base de \mathbb{K}^n formada por autovetores de A. Isso leva a uma forma útil de testar diagonalizabilidade numa prova:
  1. Calcule o polinômio característico e encontre todos os autovalores \lambda.
  2. Para cada autovalor \lambda, determine o espaço próprio \ker(A-\lambda I) e calcule sua dimensão (a chamada multiplicidade geométrica).
  3. Some as dimensões desses espaços próprios. Se a soma for n (ou, equivalentemente, para cada autovalor a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica), então há n autovetores linearmente independentes e A é diagonalizável. Caso contrário, A não é diagonalizável.

Passo 7

Noções sobre multiplicidades (importante para provas): a multiplicidade algébrica de um autovalor é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico. A multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I). Sempre vale
1 \le \text{multiplicidade geométrica} \le \text{multiplicidade algébrica}.éé
A condição necessária e suficiente para diagonalizabilidade é: para todo autovalor \lambda, multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica.

Passo 8

Casos fáceis e exemplos rápidos para memorizar:
  • Suficiente simples: se A tem n autovalores distintos (no corpo \mathbb{K}), então A é diagonalizável. Razão: autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes.
  • Exemplo de não-diagonalizável: a matriz de Jordan
\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}
tem um único autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 mas espaço próprio de dimensão 1, logo não é diagonalizável.]

Passo 9

Como aplicar isso rapidamente numa prova (receita prática):
  1. Ache autovalores \lambda resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
  2. Para cada \lambda, resolva (A-\lambda I)x=0 e encontre uma base do espaço próprio.
  3. Conte quantos autovetores linearmente independentes conseguiu. Se somarem n, monte P com esses vetores como colunas e calcule D=P^{-1}AP (será diagonal com os autovalores na diagonal).
    Dica: ao escolher vetores próprios, prefira vetores simples (componentes inteiras) para facilitar cálculo de P^{-1} na prova.

Passo 10

Força aí — a definição é curta, mas a ideia central para decorar é: diagonalizável = existe base de autovetores (ou, equivalentemente, existe P invertível tal que P^{-1}AP é diagonal). Isso vale como lema prático para reconhecer e construir a diagonalização.

Resposta

Uma matriz A\in M_n(\mathbb{K}) é diagonalizável se existe uma matriz invertível P\in GL_n(\mathbb{K}) tal que
P^{-1} A P = D,
onde D é uma matriz diagonal.

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