É possível definir o número que equivale a área abaixo do gráfico de \mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}} para x \geq 1 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível "definir o número que equivale à área abaixo do gráfico de \mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}} para x\geq 1". Informações dadas e o que é pedido:
  • Função dada: \displaystyle y=\frac{1}{x}.
  • Intervalo considerado: x\geq 1, ou seja, do ponto x=1 até o infinito.
  • O que se entende por “área abaixo do gráfico” nesse contexto é a área sob a curva desde x=1 até x\to\infty, isto é, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx.
  • A pergunta implícita: essa integral tem um valor finito (converge) ou não (diverge)? Se convergir, qual é o número?

Passo 2

Definindo a integral imprópria como limite. Quando a região de integração vai até o infinito, definimos a integral por limite finito:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx.
Explico: primeiro calculamos a área entre x=1 e uma constante x=b. Depois vemos o que acontece com essa área quando b cresce sem limite. Se o limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que diverge.

Passo 3

Calcule a integral definida \int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx. Para isso precisamos da antiderivada de \frac{1}{x}. Conhecimento importante (e muito usado em provas): a antiderivada da função x\mapsto\frac{1}{x} para x>0 é a função \ln x (logaritmo natural). Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}\qquad\text{para }x>0.
Portanto, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx=\big[\ln x\big]_{1}^{b}=\ln b-\ln 1.
E, lembrando que \ln 1=0, obtemos
\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx=\ln b.

Passo 4

Agora aplicamos a definição da integral imprópria, tomando o limite quando b\to\infty:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\ln b.
Sabemos que a função \ln b cresce sem limite quando b\to\infty; formalmente, para qualquer número real grande M basta escolher b=e^{M} para ter \ln b=M, então \ln b não fica limitado superiormente. Logo
\lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty.
Portanto a integral diverge: a área sob a curva \frac{1}{x} desde 1 até infinito é infinita (não existe um número real finito que a represente).

Passo 5

Observação útil para a prova (contexto prático). Existe um teste padrão: para integrais do tipo \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx (os chamados “p-integrals”):
  • Se p>1 então a integral converge.
  • Se p\le 1 então a integral diverge.
    No nosso caso p=1, portanto estamos na fronteira e a integral diverge. Exemplo rápido que ilustra a diferença: para p=2,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b}+1\right)=1,
ou seja, essa área é finita.

Passo 6

Resumo prático e conselho de prova: quando você vir \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx já pode lembrar na hora que ela é divergente. Mostre o procedimento curto: calcular \int_{1}^{b}1/x\,dx=\ln b e tomar b\to\infty para concluir que vai para +\infty. Respira, isso aparece muito em provas e decorar esse resultado ajuda bastante!

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=+\infty (a área diverge; não existe número real finito).

Exercícios relacionados