É possível definir o número que equivale a área abaixo do gráfico de
para
?
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível "definir o número que equivale à área abaixo do gráfico de
para
". Informações dadas e o que é pedido:
- Função dada:
. - Intervalo considerado:
, ou seja, do ponto até o infinito. - O que se entende por “área abaixo do gráfico” nesse contexto é a área sob a curva desde
até , isto é, a integral imprópria
- A pergunta implícita: essa integral tem um valor finito (converge) ou não (diverge)? Se convergir, qual é o número?
Passo 2
Definindo a integral imprópria como limite. Quando a região de integração vai até o infinito, definimos a integral por limite finito:
Explico: primeiro calculamos a área entre
e uma constante
. Depois vemos o que acontece com essa área quando
cresce sem limite. Se o limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que diverge.
Passo 3
Calcule a integral definida
. Para isso precisamos da antiderivada de
. Conhecimento importante (e muito usado em provas): a antiderivada da função
para
é a função
(logaritmo natural). Ou seja,
Portanto, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
E, lembrando que
, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a definição da integral imprópria, tomando o limite quando
:
Sabemos que a função
cresce sem limite quando
; formalmente, para qualquer número real grande
basta escolher
para ter
, então
não fica limitado superiormente. Logo
Portanto a integral diverge: a área sob a curva
desde
até infinito é infinita (não existe um número real finito que a represente).
Passo 5
Observação útil para a prova (contexto prático). Existe um teste padrão: para integrais do tipo
(os chamados “p-integrals”):
- Se
então a integral converge. - Se
então a integral diverge.
No nosso caso, portanto estamos na fronteira e a integral diverge. Exemplo rápido que ilustra a diferença: para ,
ou seja, essa área é finita.
Passo 6
Resumo prático e conselho de prova: quando você vir
já pode lembrar na hora que ela é divergente. Mostre o procedimento curto: calcular
e tomar
para concluir que vai para
. Respira, isso aparece muito em provas e decorar esse resultado ajuda bastante!