Questão 2 (1,5 pts) Derive as funções
f(x)=\operatorname{arctg}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}\!\big(e^{x}\big).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é uma composição: é a função arco-tangente aplicada a e^{x}.
  • Precisamos encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.
  • Dados explícitos: a expressão de f(x) é \operatorname{arctg}\!\big(e^{x}\big). Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Ideia de resolução (ferramenta principal que vamos usar): regra da cadeia. Vou explicar direitinho.
Se tivermos uma função composta f(x)=g(h(x)), a regra da cadeia diz que a derivada é
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
O que isso significa: para derivar uma composição, derivamos a função externa g avaliando-a na função interna h(x), e multiplicamos pelo derivado da função interna h'(x). Aqui vamos identificar qual é g e qual é h, e aplicar exatamente isso.

Passo 3

Identificação das partes da composição para o nosso caso:
  • Função externa g(u) (onde uso u como variável genérica) é
g(u)=\operatorname{arctg}(u).
  • Função interna h(x) é
h(x)=e^{x}.
Assim f(x)=g\big(h(x)\big). Agora vamos achar g'(u) e h'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada da função interna h(x)=e^{x}.
Regra: a derivada da exponencial é ela mesma, ou seja
h'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Pequena justificativa intuitiva: a função e^{x} tem taxa de variação igual ao próprio valor; isso é uma propriedade fundamental da exponencial base e.

Passo 5

Derivada da função externa g(u)=\operatorname{arctg}(u). Vou mostrar um pequeno derivamento por diferenciação implícita, que é fácil de lembrar. Seja y=\operatorname{arctg}(u). Então por definição de arco-tangente temos
\tan(y)=u.
Derivando ambos os lados em relação a u (tratando y como função de u) obtemos
\operatorname{sec}^{2}(y)\cdot \frac{dy}{du}=1.
Logo
\frac{dy}{du}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y) e lembrando que \tan(y)=u, temos
\frac{dy}{du}=\frac{1}{1+\tan^{2}(y)}=\frac{1}{1+u^{2}}.
Portanto
g'(u)=\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia: f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x). Substituindo g' e h e h' que já achamos,
f'(x)=\frac{1}{1+\big(h(x)\big)^{2}}\cdot h'(x).
Como h(x)=e^{x} e h'(x)=e^{x}, obtemos
f'(x)=\frac{1}{1+\big(e^{x}\big)^{2}}\cdot e^{x}.
Simplificando \big(e^{x}\big)^{2}=e^{2x}, resulta
f'(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.

Passo 7

Verificação rápida com um ponto para ganhar confiança: em x=0 temos \displaystyle f'(0)=\frac{e^{0}}{1+e^{0\cdot 2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. Faz sentido: derivada finita e positiva.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}

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