Questão 2 (1,5 pts) Derive as funções
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é uma composição: é a função arco-tangente aplicada a
. - Precisamos encontrar
, a derivada de em relação a . - Dados explícitos: a expressão de
é . Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Ideia de resolução (ferramenta principal que vamos usar): regra da cadeia. Vou explicar direitinho.
Se tivermos uma função composta , a regra da cadeia diz que a derivada é
Se tivermos uma função composta
O que isso significa: para derivar uma composição, derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
, e multiplicamos pelo derivado da função interna
. Aqui vamos identificar qual é
e qual é
, e aplicar exatamente isso.
Passo 3
Identificação das partes da composição para o nosso caso:
- Função externa
(onde uso como variável genérica) é
- Função interna
é
Assim
. Agora vamos achar
e
separadamente.
Passo 4
Derivada da função interna
.
Regra: a derivada da exponencial é ela mesma, ou seja
Regra: a derivada da exponencial é ela mesma, ou seja
Pequena justificativa intuitiva: a função
tem taxa de variação igual ao próprio valor; isso é uma propriedade fundamental da exponencial base
.
Passo 5
Derivada da função externa
. Vou mostrar um pequeno derivamento por diferenciação implícita, que é fácil de lembrar. Seja
. Então por definição de arco-tangente temos
Derivando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
) obtemos
Logo
Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que
, temos
Portanto
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
. Substituindo
e
e
que já achamos,
Como
e
, obtemos
Simplificando
, resulta
Passo 7
Verificação rápida com um ponto para ganhar confiança: em
temos
. Faz sentido: derivada finita e positiva.