Questão 2 (1,5 pts) Derive as funções
Passo 1
O que o exercício pede: derivar a função
.
Informação dada:
Domínio (informação útil para a derivada): para que a raiz quadrada e o logaritmo estejam definidos precisamos ter
e o radicando positivo. Como
sempre, a condição dominante é
, isto é
. Logo o domínio é
.
Passo 2
Primeiro uso uma propriedade de logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar. A propriedade é
válida quando
. Aplicando a
obtenho a forma mais simples
Essa simplificação torna a derivação bem mais direta.
Passo 3
Uso agora a propriedade dos logaritmos que separa a diferença:
Aplicando com
e
resulta
Isso transforma
numa combinação simples de logaritmos cujas derivadas conhecemos.
Passo 4
Recordando a regra de derivação do logaritmo natural e a regra da cadeia:
a derivada de é
,
e a derivada de é
(regra do poder).
Aplicando termo a termo,
a derivada de
e a derivada de
Aplicando termo a termo,
Passo 5
Simplifico os fatores numéricos: o
cancela o
em cada fração, ficando
Agora preciso colocar as duas frações sobre um mesmo denominador para somá-las.
Passo 6
Faço a subtração das frações usando denominador comum
:
No numerador fatoro
e calculo a diferença:
Portanto
Passo 7
Podemos ainda escrever o denominador de maneira compacta usando o produto notável
. Assim uma forma alternativa é
valendo sempre para
no domínio
.