Questão 2 (1,5 pts) Derive as funções
g(x)=\ln \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}}

Passo 1

O que o exercício pede: derivar a função g.
Informação dada: g(x)=\ln \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}}.
Domínio (informação útil para a derivada): para que a raiz quadrada e o logaritmo estejam definidos precisamos ter \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}>0 e o radicando positivo. Como x^{2}+1>0 sempre, a condição dominante é x^{2}-1>0, isto é |x|>1. Logo o domínio é |x|>1.

Passo 2

Primeiro uso uma propriedade de logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar. A propriedade é
\ln\sqrt{A}=\frac{1}{2}\ln A,
válida quando A>0. Aplicando a A=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} obtenho a forma mais simples
g(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right).
Essa simplificação torna a derivação bem mais direta.

Passo 3

Uso agora a propriedade dos logaritmos que separa a diferença:
\ln\!\left(\frac{u}{v}\right)=\ln u-\ln v.
Aplicando com u=x^{2}+1 e v=x^{2}-1 resulta
g(x)=\frac{1}{2}\big(\ln(x^{2}+1)-\ln(x^{2}-1)\big).
Isso transforma g numa combinação simples de logaritmos cujas derivadas conhecemos.

Passo 4

Recordando a regra de derivação do logaritmo natural e a regra da cadeia:
a derivada de \ln(w(x)) é \dfrac{w'(x)}{w(x)},
e a derivada de x^{2} é 2x (regra do poder).
Aplicando termo a termo,
g'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)-\frac{d}{dx}\ln(x^{2}-1)\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{x^{2}+1}-\frac{2x}{x^{2}-1}\right).

Passo 5

Simplifico os fatores numéricos: o \tfrac{1}{2} cancela o 2 em cada fração, ficando
g'(x)=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{x}{x^{2}-1}.
Agora preciso colocar as duas frações sobre um mesmo denominador para somá-las.

Passo 6

Faço a subtração das frações usando denominador comum (x^{2}+1)(x^{2}-1):
g'(x)=\frac{x(x^{2}-1)-x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}-1)}.
No numerador fatoro x e calculo a diferença:
x\big((x^{2}-1)-(x^{2}+1)\big)=x(x^{2}-1-x^{2}-1)=x(-2)=-2x.
Portanto
g'(x)=\frac{-2x}{(x^{2}+1)(x^{2}-1)}.

Passo 7

Podemos ainda escrever o denominador de maneira compacta usando o produto notável (x^{2}+1)(x^{2}-1)=x^{4}-1. Assim uma forma alternativa é
g'(x)=-\frac{2x}{x^{4}-1},
valendo sempre para x no domínio |x|>1.

Resposta

-\dfrac{2x}{(x^{2}+1)(x^{2}-1)} = -\dfrac{2x}{x^{4}-1}

Exercícios relacionados