É possível demonstrar que para deformações consideradas infinitesimais (como é o caso das elásticas) vale o chamado Princípio da Superposição (Chou & Pagano, 1992), a saber: “O resultado da superposição de duas tensões (ou deformações) sucessivas é igual à soma das tensões (ou deformações) isoladas, independentemente da sua ordem de aplicação”. Considere a aplicação de duas tensões sucessivas, 1 e 2, ao longo duma direção
, ou seja:
. Utilizando a expressão (i) do Exercício (7), conclua que o princípio supramencionado não vale para a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume, demonstrando que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, mesmo valendo o princípio da superposição em tensões (ou deformações) em regime elástico infinitesimal, a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume não obedece a esse princípio. Vamos usar o conteúdo de elasticidade linear: a lei de Hooke em uma direção
e a expressão (i) do Exercício (7), que é
onde
é a tensão e
a deformação.
Passo 2
Em regime elástico linear temos a lei de Hooke
e, aplicando duas tensões sucessivas
e
, o resultado total é
Logo, a deformação resultante é
Passo 3
Substituindo nessa expressão de energia, podemos usar diretamente a forma fechada para
em elasticidade linear:
porque
Para o caso total,
Passo 4
Basta expandir o quadrado:
Esse termo
extra mostra que
ou seja, a energia não se soma de forma independente das ordens de aplicação.