É possível demonstrar que para deformações consideradas infinitesimais (como é o caso das elásticas) vale o chamado Princípio da Superposição (Chou & Pagano, 1992), a saber: “O resultado da superposição de duas tensões (ou deformações) sucessivas é igual à soma das tensões (ou deformações) isoladas, independentemente da sua ordem de aplicação”. Considere a aplicação de duas tensões sucessivas, 1 e 2, ao longo duma direção x, ou seja: \sigma_{x}=\sigma_{x_{1}}+\sigma_{x_{2}}. Utilizando a expressão (i) do Exercício (7), conclua que o princípio supramencionado não vale para a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume, demonstrando que:
U=\frac{1}{2} \frac{\sigma_{x 1}^{2}}{E}+\frac{1}{2} \frac{\sigma_{x 2}^{2}}{E}+\frac{\sigma_{x 1} \sigma_{x 2}}{E}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, mesmo valendo o princípio da superposição em tensões (ou deformações) em regime elástico infinitesimal, a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume não obedece a esse princípio. Vamos usar o conteúdo de elasticidade linear: a lei de Hooke em uma direção x e a expressão (i) do Exercício (7), que é
U=\int_{0}^{\varepsilon_{x}}\sigma_{x}\,d\varepsilon_{x}\,,
onde \sigma_{x} é a tensão e \varepsilon_{x} a deformação.

Passo 2

Em regime elástico linear temos a lei de Hooke
\sigma_{x}=E\,\varepsilon_{x}
e, aplicando duas tensões sucessivas \sigma_{x_1} e \sigma_{x_2}, o resultado total é
\sigma_{x}=\sigma_{x_{1}}+\sigma_{x_{2}}.
Logo, a deformação resultante é
\varepsilon_{x}=\frac{\sigma_{x}}{E}=\frac{\sigma_{x_{1}}+\sigma_{x_{2}}}{E}\,.

Passo 3

Substituindo nessa expressão de energia, podemos usar diretamente a forma fechada para U em elasticidade linear:
U=\frac{1}{2}\,\sigma_{x}\,\varepsilon_{x}
porque
\int_{0}^{\varepsilon_{x}}E\,\varepsilon\,d\varepsilon =E\frac{\varepsilon_{x}^{2}}{2} =\frac{1}{2}\,(E\,\varepsilon_{x})\,\varepsilon_{x} =\frac{1}{2}\,\sigma_{x}\,\varepsilon_{x}.
Para o caso total,
U=\frac{1}{2}\,\bigl(\sigma_{x_{1}}+\sigma_{x_{2}}\bigr)\, \frac{\sigma_{x_{1}}+\sigma_{x_{2}}}{E} =\frac{1}{2}\,\frac{\bigl(\sigma_{x_{1}}+\sigma_{x_{2}}\bigr)^{2}}{E}\,.

Passo 4

Basta expandir o quadrado:
\frac{1}{2}\,\frac{\bigl(\sigma_{x_{1}}+\sigma_{x_{2}}\bigr)^{2}}{E} =\frac{1}{2}\,\frac{\sigma_{x_{1}}^{2}+2\,\sigma_{x_{1}}\sigma_{x_{2}} +\sigma_{x_{2}}^{2}}{E} =\frac{1}{2}\,\frac{\sigma_{x_{1}}^{2}}{E} +\frac{1}{2}\,\frac{\sigma_{x_{2}}^{2}}{E} +\frac{\sigma_{x_{1}}\sigma_{x_{2}}}{E}\,.
Esse termo \displaystyle\frac{\sigma_{x_{1}}\sigma_{x_{2}}}{E} extra mostra que
U\neq U_{1}+U_{2},
ou seja, a energia não se soma de forma independente das ordens de aplicação.

Resposta

U=\frac{1}{2}\,\frac{\sigma_{x_{1}}^{2}}{E} +\frac{1}{2}\,\frac{\sigma_{x_{2}}^{2}}{E} +\frac{\sigma_{x_{1}}\sigma_{x_{2}}}{E}\,.

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