Se possível, determine interpretações que interpretem as fórmulas a seguir como verdadeiras e como falsas. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar duas interpretações (domínio e interpretação de p) de modo que a fórmula aberta
seja verdadeira em uma delas e falsa em outra. O conteúdo envolve Lógica de Primeira Ordem e o conceito de verdade em uma interpretação.
Passo 2
Lembrando que, como há variáveis livres (x em
do segundo membro e z no primeiro), uma interpretação
torna a fórmula verdadeira se, sob toda atribuição de valores às variáveis livres, a implicação for satisfeita. Para fazê-la falsa, basta encontrar uma atribuição que torne o antecedente verdadeiro e o consequente falso.
Passo 3
Interpretação
que faz a fórmula verdadeira. Seja o domínio
e defina
isto é,
é sempre falsa. Então:
- Antecedente:
é falso (não existe que satisfaça ). - Como o antecedente é falso, toda implicação falso→(qualquer) é verdadeira. Logo a fórmula vale em toda atribuição.
Passo 4
Interpretação
que faz a fórmula falsa. Tome domínio com pelo menos dois elementos:
E defina
$$
p^I = {(x,y,z)\in D^3 \mid y = z}\n$$
Então:
- Antecedente : para qualquer
basta escolher
(valor livre de
) para ter
verdadeira; assim o antecedente é verdadeiro em toda atribuição.
- Consequente : exige um
que funcione para todo
, ou seja, um
igual a todos os
simultaneamente — impossível em domínios com mais de um elemento. Logo o consequente é falso em toda atribuição.
- Assim, sob qualquer atribuição, a implicação é , ou seja, falsa.
Então:
- Antecedente
- Consequente
- Assim, sob qualquer atribuição, a implicação é
Passo 5
Portanto, em
a fórmula é verdadeira e em
é falsa.
Resposta
Uma escolha que funciona é:
D = {a},
p^I = ∅.
→ O antecedente é falso, logo a implicação é verdadeira.
D = {0,1},
p^I = { (x,y,z) ∈ D^3 | y = z }.
→ O antecedente é verdadeiro (basta y = z) e o consequente é falso (não há y igual a todo z), logo a implicação é falsa.