Se possível, determine a matriz inversa das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 9 & 1 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a matriz inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 9 & 1 & 6 \end{array}\right].
Informações dadas e o objetivo claro:
  • A é uma matriz quadrada de ordem 4.
  • A tarefa é encontrar A^{-1}, se ela existir; caso contrário, concluir que a inversa não existe.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
  • Um jeito padrão de calcular a inversa é usar eliminação por linhas (Gauss–Jordan): montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha para transformar o bloco esquerdo A na identidade I. Se isto for possível, o bloco direito virará A^{-1}. Se em algum momento aparecer uma linha nula no bloco esquerdo enquanto o bloco direito dessa linha for não-nulo, então não é possível transformar A em I e A não é invertível.
  • Outra forma equivalente: A é invertível se e somente se \det(A)\neq0. Vou usar a eliminação (Gauss–Jordan) porque além de decidir invertibilidade permite construir explicitamente a inversa quando ela existe; durante o processo verifico se surge uma linha zero no bloco esquerdo.
Explicando operações elementares (rápido, para a prova):
  • Trocar duas linhas altera o sinal do determinante.
  • Somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c.
  • Na eliminação, somas de múltiplos de linhas são as operações que usarei (mantêm o determinante), e ocasionalmente dividirei uma linha por um pivô para facilitar (isso altera o determinante, mas aqui só uso esse passo para obter pivôs iguais a 1 — a detecção de singularidade não depende disso).

Passo 3

Montagem da matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 5 & 9 & 1 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Vou aplicar operações por linhas visando obter zeros abaixo do primeiro pivô (primeira coluna).
Operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -4 & 1 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora uso o pivô na posição (2,2), que é 2. Para facilitar, coloco pivô igual a 1 dividindo a linha 2 por 2:
  • R_2 \leftarrow \dfrac{1}{2}R_2
Fica:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -4 & 1 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Agora zeramos as outras entradas da coluna 2 usando R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2
  • R_4 \leftarrow R_4 - 4R_2
Aplicando essas operações obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -1 & -3 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right]
(checagem rápida dos termos augmentados: por exemplo, em R_1 a parte augmentada ficou [1,0,0,0]-[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0]=[\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},0,0], etc.)]

Passo 5

Agora o pivô candidato é a entrada (3,3), que é -2. Divido a linha 3 por -2 para obter pivô 1:
  • R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3 (ou R_3 \leftarrow \dfrac{1}{-2}R_3)
Isso dá:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -1 & -3 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right]
(Observação: os sinais foram verificados passo a passo.)
Agora elimino as outras entradas na coluna 3:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3 (para zerar a entrada (1,3)=1)
  • R_4 \leftarrow R_4 + 4R_3 (para zerar a entrada (4,3)=-4)
Aplicando essas:
  • Para R_1: a linha esquerda fica [1,0,0,\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}]=[1,0,0,\tfrac{1}{4}]; a parte augmentada atualiza consistentemente.
  • Para R_4: a linha esquerda fica [0,0,0,-1+4\cdot\tfrac{1}{4}]=[0,0,0,0].
Executando os cálculos obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{5}{4} & -\tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -1 & -2 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Interpretação do que ocorreu:
  • A quarta linha do bloco esquerdo virou a linha nula [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0], enquanto a parte augmentada dessa mesma linha é [ -2\\\ -1\\\ -2\\\ 1], que é um vetor não-nulo.
  • Isso significa que não é possível transformar A em I por operações elementares de linha: haveria uma equação 0= \text{(algo não-nulo)}ã ao tentar resolver AX=I. Em termos lineares, as colunas de A são linearmente dependentes e não formam uma base de \mathbb{R}^4.
  • Portanto A não é invertível: a inversa A^{-1} NÃO existe.
Explicação didática curta para a prova:
  • Quando ao aplicar Gauss–Jordan em [A\mid I] aparece uma linha [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b] com b\neq0, isso mostra que o sistema A X = I é inconsistente, logo não existe X tal que AX=I. Assim A não tem inversa.
  • Equivalentemente, \det(A)=0 quando as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes.

Passo 7

Confirmando pela determinante (cheque rápido):
  • A partir da primeira coluna, ao desenvolver a determinante depois das operações iniciais (subtrações que não mudam o determinante), obtém-se o determinante igual a
\det(A)=1\cdot\det\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\[2pt] 1 & -2 & 0\\[2pt] 4 & -4 & 1 \end{array}\right).
  • Calculando o 3\times3 interior:
\det\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\[2pt] 1 & -2 & 0\\[2pt] 4 & -4 & 1 \end{array}\right) =2\cdot\det\left(\begin{array}{cc}-2 & 0\\[2pt]-4 & 1\end{array}\right) +1\cdot\det\left(\begin{array}{cc}1 & -2\\[2pt]4 & -4\end{array}\right).
=2\cdot((-2)\cdot1-0\cdot(-4)) + (1\cdot(-4)-(-2)\cdot4 ) = 2\cdot(-2) + (-4+8)= -4 +4 =0.
  • Logo \det(A)=0, confirmando que A é singular e não tem inversa.]

Resposta

A matriz não é invertível (singular); a inversa A^{-1} não existe ( \det(A)=0).

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