A tarefa é encontrar A^{-1}, se ela existir; caso contrário, concluir que a inversa não existe.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Um jeito padrão de calcular a inversa é usar eliminação por linhas (Gauss–Jordan): montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha para transformar o bloco esquerdo A na identidade I. Se isto for possível, o bloco direito virará A^{-1}. Se em algum momento aparecer uma linha nula no bloco esquerdo enquanto o bloco direito dessa linha for não-nulo, então não é possível transformar A em I e A não é invertível.
Outra forma equivalente: A é invertível se e somente se \det(A)\neq0. Vou usar a eliminação (Gauss–Jordan) porque além de decidir invertibilidade permite construir explicitamente a inversa quando ela existe; durante o processo verifico se surge uma linha zero no bloco esquerdo.
Explicando operações elementares (rápido, para a prova):
Trocar duas linhas altera o sinal do determinante.
Somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c.
Na eliminação, somas de múltiplos de linhas são as operações que usarei (mantêm o determinante), e ocasionalmente dividirei uma linha por um pivô para facilitar (isso altera o determinante, mas aqui só uso esse passo para obter pivôs iguais a 1 — a detecção de singularidade não depende disso).
(checagem rápida dos termos augmentados: por exemplo, em R_1 a parte augmentada ficou [1,0,0,0]-[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0]=[\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},0,0], etc.)]
Passo 5
Agora o pivô candidato é a entrada (3,3), que é -2. Divido a linha 3 por -2 para obter pivô 1:
A quarta linha do bloco esquerdo virou a linha nula [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0], enquanto a parte augmentada dessa mesma linha é [ -2\\\ -1\\\ -2\\\ 1], que é um vetor não-nulo.
Isso significa que não é possível transformar A em I por operações elementares de linha: haveria uma equação 0= \text{(algo não-nulo)}ã ao tentar resolver AX=I. Em termos lineares, as colunas de A são linearmente dependentes e não formam uma base de \mathbb{R}^4.
Portanto A não é invertível: a inversa A^{-1} NÃO existe.
Explicação didática curta para a prova:
Quando ao aplicar Gauss–Jordan em [A\mid I] aparece uma linha [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b] com b\neq0, isso mostra que o sistema A X = I é inconsistente, logo não existe X tal que AX=I. Assim A não tem inversa.
Equivalentemente, \det(A)=0 quando as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes.
Passo 7
Confirmando pela determinante (cheque rápido):
A partir da primeira coluna, ao desenvolver a determinante depois das operações iniciais (subtrações que não mudam o determinante), obtém-se o determinante igual a