Como \det(A)=-1\neq0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}.
Breve explicação didática: o determinante mede (entre outras interpretações) se as colunas são linearmente independentes; se \det(A)\neq0, as colunas formam uma base e a matriz tem inversa. Aqui deu -1, então podemos prosseguir.]
Passo 3
Vou usar o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I_3] e aplicar operações elementares por linhas até obter [I_3\mid A^{-1}].
Explicando: cada operação por linhas equivale a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda; essas operações não mudam a solução da transformação linear representada, e ao levar a parte esquerda à identidade a parte direita vira a inversa.]
Passo 4
Eliminar o primeiro elemento abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_2\leftarrow R_2-R_1:
Aqui já temos pivôs 1 nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) na parte esquerda, exceto que ainda há entradas acima do pivô da terceira coluna que precisamos zerar.]
Passo 6
Eliminar as entradas acima do pivô da terceira coluna (a_{13} e a_{23}). Faço R_1\leftarrow R_1-R_3 e R_2\leftarrow R_2-R_3.
Cálculo de R_1\leftarrow R_1-R_3:
Parte esquerda: [1,0,1]-[0,0,1]=[1,0,0].
Parte direita: [-1,2,0]-[-1,1,1]=[-1-(-1),\;2-1,\;0-1]=[0,\;1,\;-1].
Cálculo de R_2\leftarrow R_2-R_3:
Parte esquerda: [0,1,1]-[0,0,1]=[0,1,0].
Parte direita: [1,-1,0]-[-1,1,1]=[1-(-1),\;-1-1,\;0-1]=[2,\;-2,\;-1].
Como a parte esquerda é I_3, a parte direita é A^{-1}.]
Passo 7
Interpretação final: a matriz à direita é a inversa procurada. Posso, se quiser, checar rapidamente que A\cdot A^{-1}=I_3 multiplicando (essa multiplicação confirma os cálculos; o determinante já garantiu invertibilidade). Não é obrigatório repetir a multiplicação aqui porque a redução por Gauss–Jordan já produz a inversa diretamente e de forma construtiva.