Se possível, determine a matriz inversa das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz A é uma matriz quadrada de ordem 3.
  • Quer-se encontrar A^{-1}, a matriz tal que
A\;A^{-1}=A^{-1}\;A=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 2

Primeiro ver se A é invertível (ou seja, se \det(A)\neq0). Vou calcular \det(A) por expansão:
\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}.
Usando a regra de Sarrus / expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 2\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 2\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{vmatrix}.
Calculo cada menor:
\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2-2\cdot1=0, \qquad \begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2-2\cdot0=2, \qquad \begin{vmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Portanto
\det(A)=1\cdot0-2\cdot2+3\cdot1=-4+3=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}.
Breve explicação didática: o determinante mede (entre outras interpretações) se as colunas são linearmente independentes; se \det(A)\neq0, as colunas formam uma base e a matriz tem inversa. Aqui deu -1, então podemos prosseguir.]

Passo 3

Vou usar o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I_3] e aplicar operações elementares por linhas até obter [I_3\mid A^{-1}].
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Explicando: cada operação por linhas equivale a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda; essas operações não mudam a solução da transformação linear representada, e ao levar a parte esquerda à identidade a parte direita vira a inversa.]

Passo 4

Eliminar o primeiro elemento abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_2\leftarrow R_2-R_1:
R_2\leftarrow R_2-R_1
Aplicando:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Explicação: a operação torna zero o elemento na posição (2,1), preparando o pivô na linha 1 e reduzindo o sistema.]

Passo 5

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1. Multiplico a segunda linha por -1:
R_2\leftarrow -R_2
Obtém-se:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Agora eliminar os outros elementos na coluna 2. Faço R_1\leftarrow R_1-2R_2 e R_3\leftarrow R_3-R_2.
Cálculo de R_1\leftarrow R_1-2R_2:
  • Parte esquerda: [1,\;2,\;3]-2[0,\;1,\;1]=[1,\;0,\;1].
  • Parte direita: [1,0,0]-2[1,-1,0]=[1-2,\;0-(-2),\;0-0]=[-1,\;2,\;0].
Cálculo de R_3\leftarrow R_3-R_2:
  • Parte esquerda: [0,\;1,\;2]-[0,\;1,\;1]=[0,\;0,\;1].
  • Parte direita: [0,0,1]-[1,-1,0]=[-1,\;1,\;1].
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Aqui já temos pivôs 1 nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) na parte esquerda, exceto que ainda há entradas acima do pivô da terceira coluna que precisamos zerar.]

Passo 6

Eliminar as entradas acima do pivô da terceira coluna ( a_{13} e a_{23}). Faço R_1\leftarrow R_1-R_3 e R_2\leftarrow R_2-R_3.
Cálculo de R_1\leftarrow R_1-R_3:
  • Parte esquerda: [1,0,1]-[0,0,1]=[1,0,0].
  • Parte direita: [-1,2,0]-[-1,1,1]=[-1-(-1),\;2-1,\;0-1]=[0,\;1,\;-1].
Cálculo de R_2\leftarrow R_2-R_3:
  • Parte esquerda: [0,1,1]-[0,0,1]=[0,1,0].
  • Parte direita: [1,-1,0]-[-1,1,1]=[1-(-1),\;-1-1,\;0-1]=[2,\;-2,\;-1].
A matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Como a parte esquerda é I_3, a parte direita é A^{-1}.]

Passo 7

Interpretação final: a matriz à direita é a inversa procurada. Posso, se quiser, checar rapidamente que A\cdot A^{-1}=I_3 multiplicando (essa multiplicação confirma os cálculos; o determinante já garantiu invertibilidade). Não é obrigatório repetir a multiplicação aqui porque a redução por Gauss–Jordan já produz a inversa diretamente e de forma construtiva.

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Exercícios relacionados