Se possível, determine a matriz inversa das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 3 & 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz inversa da matriz A abaixo:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}
Informações relevantes dadas: todos os elementos de A estão acima; a tarefa é encontrar A^{-1}, isto é, a matriz que satisfaz A A^{-1}=I_4.

Passo 2

Método que vou usar: eliminação de Gauss-Jordan. Ideia principal (explicação didática e passo a passo):
  • Escreve-se a matriz aumentada \bigl[A \mid I_4\bigr], onde I_4 é a identidade 4\times4.
  • Aplica-se operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até transformar a parte esquerda em I_4.
  • Quando a parte esquerda virar I_4, a parte direita será exatamente A^{-1}.
    Operações permitidas mantêm a equivalência do sistema linear; por isso este procedimento é válido para obter a inversa.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial \bigl[A \mid I_4\bigr]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_i \leftarrow R_i - R_1 para i=2,3,4):
  • R_2\leftarrow R_2-R_1,
  • R_3\leftarrow R_3-R_1,
  • R_4\leftarrow R_4-R_1.
    Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Usar o pivô na posição (2,2), que já vale 1. Zerar a entrada acima e abaixo na coluna 2:
  • R_1\leftarrow R_1-R_2 (zera o 1 em (1,2)),
  • R_3\leftarrow R_3+2R_2 (zera o -2 em (3,2)),
  • R_4\leftarrow R_4-2R_2 (zera o 2 em (4,2)).
    Calculei cada linha; o resultado é:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 6 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Pivô na posição (3,3) vale -3. Normalizo essa linha dividindo por -3:
  • R_3\leftarrow \dfrac{1}{-3}R_3.
    Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 6 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Zerar a coluna 3 nas outras linhas usando o pivô R_3:
  • R_1\leftarrow R_1-3R_3,
  • R_2\leftarrow R_2+2R_3,
  • R_4\leftarrow R_4-6R_3.
    Faço as contas e obtenho:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 3 & -5 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right]]

Passo 8

Pivô na posição (4,4) vale 3. Normalizo a linha 4 dividindo por 3:
  • R_4\leftarrow \dfrac{1}{3}R_4.
    Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{5}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right]]

Passo 9

Zerar a coluna 4 nas linhas 1,2,3 usando R_4:
  • R_1\leftarrow R_1-2R_4,
  • R_2\leftarrow R_2+\tfrac{1}{3}R_4 (porque R_2 tem -\tfrac{1}{3} na coluna 4),
  • R_3\leftarrow R_3+\tfrac{2}{3}R_4 (porque R_3 tem -\tfrac{2}{3} na coluna 4).
    Calculando cada atualização obtém-se a parte direita final (a esquerda torna-se I_4):
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{4}{9} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{9} & \tfrac{1}{9}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{2}{9} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{5}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right]]

Passo 10

Concluímos: a parte esquerda é a identidade I_4; a parte direita é A^{-1}. Vou apenas exibir A^{-1} de forma organizada (cada entrada em forma de fração).

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{4}{9} & -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{9} & \tfrac{1}{9}\\[6pt] -\tfrac{1}{9} & -\tfrac{2}{9} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9}\\[6pt] -\tfrac{5}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}

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