Informações relevantes dadas: todos os elementos de A estão acima; a tarefa é encontrar A^{-1}, isto é, a matriz que satisfaz A A^{-1}=I_4.
Passo 2
Método que vou usar: eliminação de Gauss-Jordan. Ideia principal (explicação didática e passo a passo):
Escreve-se a matriz aumentada \bigl[A \mid I_4\bigr], onde I_4 é a identidade 4\times4.
Aplica-se operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até transformar a parte esquerda em I_4.
Quando a parte esquerda virar I_4, a parte direita será exatamente A^{-1}.
Operações permitidas mantêm a equivalência do sistema linear; por isso este procedimento é válido para obter a inversa.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada inicial \bigl[A \mid I_4\bigr]:
R_2\leftarrow R_2+\tfrac{1}{3}R_4 (porque R_2 tem -\tfrac{1}{3} na coluna 4),
R_3\leftarrow R_3+\tfrac{2}{3}R_4 (porque R_3 tem -\tfrac{2}{3} na coluna 4).
Calculando cada atualização obtém-se a parte direita final (a esquerda torna-se I_4):
Concluímos: a parte esquerda é a identidade I_4; a parte direita é A^{-1}. Vou apenas exibir A^{-1} de forma organizada (cada entrada em forma de fração).