É possível encontrar alguma base de \mathbb{R}^{6} que possua os vetores ( 1,0,2,3,5,0 ), ( 2,1,3,0,2,1 ) e (3,1,5,3,7,1) ? Por que?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma base de \mathbb{R}^6 que contenha os vetores
v_1=(1,0,2,3,5,0),\quad v_2=(2,1,3,0,2,1),\quad v_3=(3,1,5,3,7,1).
O conteúdo envolvido é independência linear em \mathbb{R}^6 e o critério de extensão a uma base.

Passo 2

Para que um conjunto de vetores faça parte de uma base de \mathbb{R}^6, ele deve ser linearmente independente. Se v_1,v_2,v_3 não são independentes, não há como incluir todos eles em qualquer base.

Passo 3

Basta ver que
v_1 + v_2 = (1+2,\;0+1,\;2+3,\;3+0,\;5+2,\;0+1) = (3,1,5,3,7,1) = v_3.
Logo existe a combinação não trivial
v_1 + v_2 - v_3 = 0,
ou seja, v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes.

Passo 4

Como há dependência linear entre eles, não é possível que esses três vetores pertençam juntos a uma base de \mathbb{R}^6.

Resposta

Não é possível, pois os vetores são linearmente dependentes.

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