Determine uma base do \mathbb{R}^{3} que possua os vetores:
(3,5,1) e (0,0,3)

Passo 1

O enunciado pede uma base de \mathbb{R}^{3} que contenha os vetores \,(3,5,1) e (0,0,3).
Como \dim(\mathbb{R}^{3})=3, precisamos de mais um vetor que, junto com esses, seja linearmente independente e, assim, gere todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Mostramos primeiro que os dois vetores dados são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a,b\) tais que \[a\,(3,5,1)+b\,(0,0,3)=(0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} 3a + 0\,b = 0,\\\\ 5a + 0\,b = 0,\\\\ 1a + 3b = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem a=0\]. Substituindo na terceira obtemos \(3b=0, logo b=0. Como só a solução trivial existe, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Escolhemos agora um terceiro vetor \mathbf{v}_{3}\) que não pertença ao span dos dois dados. Por exemplo, tomemos \[\mathbf{v}_{3}=(1,0,0).
Para ver que \mathbf{v}_{3} não está no span de (3,5,1) e (0,0,3), tentaríamos resolver
a\,(3,5,1)+b\,(0,0,3)=(1,0,0).
Isto leva ao sistema
\begin{cases} 3a = 1,\\\\ 5a = 0,\\\ a + 3b = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem a=0\], mas isso contradiz a primeira \(3a=1. Logo não há solução, e \mathbf{v}_{3} é independente dos dois primeiros vetores.

Passo 4

Como (3,5,1), (0,0,3) e (1,0,0) são três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}, eles formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Uma base de \mathbb{R}^{3} contendo os vetores pedidos é
\bigl\{(3,5,1),\;(0,0,3),\;(1,0,0)\bigr\}.

Exercícios relacionados