Determine uma base do \mathbb{R}^{3} que possua os vetores: (3,5,1) e (0,0,3)
Passo 1
O enunciado pede uma base de \mathbb{R}^{3} que contenha os vetores \,(3,5,1) e (0,0,3).
Como \dim(\mathbb{R}^{3})=3, precisamos de mais um vetor que, junto com esses, seja linearmente independente e, assim, gere todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Mostramos primeiro que os dois vetores dados são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a,b\) tais que
\[a\,(3,5,1)+b\,(0,0,3)=(0,0,0).
Das duas primeiras equações vem a=0\]. Substituindo na terceira obtemos \(3b=0, logo b=0. Como só a solução trivial existe, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Escolhemos agora um terceiro vetor \mathbf{v}_{3}\) que não pertença ao span dos dois dados. Por exemplo, tomemos
\[\mathbf{v}_{3}=(1,0,0).
Para ver que \mathbf{v}_{3} não está no span de (3,5,1) e (0,0,3), tentaríamos resolver