Determine uma base do \mathbb{R}^{3} que possua os vetores: (1,2,3) e (0,2,1)
Passo 1
O enunciado pede para “completar” os vetores (1,2,3) e (0,2,1) até uma base de \mathbb{R}^{3}. O conteúdo envolvido é o de espaços vetoriais, mais precisamente base e independência linear, e vamos usar o fato de que, em \mathbb{R}^{3}, dois vetores independentes podem ser estendidos a uma base com um terceiro vetor que não esteja no mesmo plano.
Passo 2
Mostramos que
v_{1} = (1,2,3), \quad v_{2} = (0,2,1)
são independentes lineares. Suponha que existam escalares a,b\) tais que
\[a\,v_{1} + b\,v_{2} = (0,0,0).
Da primeira equação vem a=0\]. Substituindo na segunda, \(2\cdot0 + 2b = 0 implica b=0. Logo, a=b=0 é a única solução, e v_{1},v_{2} são independentes.
Passo 3
Para completar a base, escolhemos um vetor v_{3} que não esteja no plano gerado por v_{1} e v_{2}. Uma forma sistemática é usar o produto vetorial:
O vetor v_{3}=(-4,-1,2) é ortogonal a v_{1} e a v_{2}, portanto não está no mesmo plano deles. Assim, \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto de três vetores independentes em \mathbb{R}^{3} e, por essa razão, forma uma base.
Resposta
Uma base de \mathbb{R}^{3} que contém (1,2,3) e (0,2,1) é