Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares satisfazendo as condições dos itens abaixo. Quando não for possível, justifique.
(d)
isomorfismo.
(d)
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de transformação linear
que seja isomorfismo. Aqui
é o espaço das matrizes
com coeficientes complexos e
é o espaço dos polinômios reais de grau
. Para existir isomorfismo linear precisamos que ambos os espaços tenham mesma dimensão sobre o mesmo corpo de escalares.
Passo 2
Vamos verificar as dimensões como espaços sobre
:
– visto como espaço real tem dimensão
–
pois cada entrada complexa equivale a duas coordenadas reais.
– visto como espaço real tem dimensão
–
(pois um polinômio genérico
tem
coeficientes reais).
Passo 3
Como
, não existe bijeção linear entre esses espaços quando vistos sobre
Resposta
Não é possível encontrar tal isomorfismo, pois as dimensões sobre
são diferentes.