Seja P: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3} a transformação linear tal que P(1,0,0)=(1,0, i), P(0,1,0)= (0,1,1), P(0,0,1)=(i, 0,1). Verifique se P é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
P:\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3
pelas imagens dos vetores da base canônica \,e_1=(1,0,0), \,e_2=(0,1,0), \,e_3=(0,0,1):
P(e_1)=(1,0,i),\quad P(e_2)=(0,1,1),\quad P(e_3)=(i,0,1).
Para verificar se P é um isomorfismo basta checar se sua matriz no sistema de coordenadas canônico tem determinante não-nulo, pois em espaços de dimensão finita isso é equivalente a bijetividade.

Passo 2

Vamos montar a matriz de P cujas colunas são as coordenadas de P(e_1), P(e_2) e P(e_3). Assim, em relação à base canônica,
[P] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\\\ 0 & 1 & 0\\\ i & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de [P]:
\det [P] = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} - 0\cdot\bigl(\cdots\bigr) + i\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\i & 1\end{pmatrix}.
Primeiro termo:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 0\cdot1 = 1.
Segundo termo anula-se por multiplicar zero. Terceiro termo:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\i & 1\end{pmatrix} =0\cdot1 - 1\cdot i = -\,i,
portanto
\det [P] = 1 + i\cdot(-\,i) = 1 + (-\,i^2) = 1 + 1 = 2.

Passo 4

Como \det [P]=2\neq0 em \mathbb{C}, a matriz é invertível. Logo, a transformação linear P é bijetora e, portanto, um isomorfismo.

Resposta

P é um isomorfismo, pois \det [P]=2\neq0.

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