Seja P: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3} a transformação linear tal que P(1,0,0)=(1,0, i), P(0,1,0)= (0,1,1), P(0,0,1)=(i, 0,1). Verifique se P é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
P:\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3
pelas imagens dos vetores da base canônica \,e_1=(1,0,0), \,e_2=(0,1,0), \,e_3=(0,0,1):
Para verificar se P é um isomorfismo basta checar se sua matriz no sistema de coordenadas canônico tem determinante não-nulo, pois em espaços de dimensão finita isso é equivalente a bijetividade.
Passo 2
Vamos montar a matriz de P cujas colunas são as coordenadas de P(e_1), P(e_2) e P(e_3). Assim, em relação à base canônica,