É possível expressar as funções trigonométricas complexas,
, na forma
e na forma utilizando funções exponenciais complexas. Que expressões são estas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função trigonométrica complexa, que são as funções
e
, e quer expressá-las de duas maneiras diferentes: primeiro, na forma
, onde
e
são funções reais de
e
, e segundo, usando funções exponenciais complexas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de Euler e um pouco de álgebra complexa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
como uma número complexo:
, onde
e
são números reais. Isso nos ajuda a separar as partes real e imaginária da função trigonométrica.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula de Euler, que é uma ferramenta poderosa na matemática para relacionar funções trigonométricas com exponenciais complexas. A fórmula de Euler diz que:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para expressar
e
em termos de exponenciais complexas. Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Agora, substituímos
por
nessas expressões. Começando com
:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Usando novamente a fórmula de Euler para
e
, temos:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, separamos as partes real e imaginária:
Reconhecendo as funções hiperbólicas:
Então:
Passo 8
Agora, identificamos
e
:
Então, a forma
para
é:
Passo 9
De maneira similar, fazemos o mesmo para
:
Passo 10
Aplicando a fórmula de Euler novamente:
Passo 11
Separando as partes real e imaginária:
Usando as funções hiperbólicas:
Passo 12
Identificando
e
para
:
Então, a forma
para
é:
Passo 13
Resumindo, expressamos
e
tanto na forma
quanto usando funções exponenciais complexas. As expressões finais são:
Resposta
Para
:
Usando exponenciais complexas:
Para
:
Usando exponenciais complexas: