É possível expressar as funções trigonométricas complexas, cos(z) e sen(z), na forma u(x, y) + i v(x, y) e na forma utilizando funções exponenciais complexas. Que expressões são estas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função trigonométrica complexa, que são as funções cos(z) e , e quer expressá-las de duas maneiras diferentes: primeiro, na forma , onde u e v são funções reais de x e y, e segundo, usando funções exponenciais complexas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de Euler e um pouco de álgebra complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever z como uma número complexo: , onde x e y são números reais. Isso nos ajuda a separar as partes real e imaginária da função trigonométrica.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de Euler, que é uma ferramenta poderosa na matemática para relacionar funções trigonométricas com exponenciais complexas. A fórmula de Euler diz que:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para expressar cos(z) e em termos de exponenciais complexas. Primeiro, para cos(z):
E para :

Passo 5

Agora, substituímos z por nessas expressões. Começando com cos(z):
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Usando novamente a fórmula de Euler para e , temos:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, separamos as partes real e imaginária:
Reconhecendo as funções hiperbólicas:
Então:

Passo 8

Agora, identificamos u(x, y) e v(x, y):
Então, a forma para cos(z) é:

Passo 9

De maneira similar, fazemos o mesmo para :

Passo 10

Aplicando a fórmula de Euler novamente:

Passo 11

Separando as partes real e imaginária:
Usando as funções hiperbólicas:

Passo 12

Identificando u(x, y) e v(x, y) para :
Então, a forma para é:

Passo 13

Resumindo, expressamos cos(z) e tanto na forma quanto usando funções exponenciais complexas. As expressões finais são:

Resposta

Para cos(z):
Usando exponenciais complexas:
Para :
Usando exponenciais complexas:

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