Determine todas as raízes de cada equação e representeos como vetores no plano complexo. Deixe as respostas na forma exponencial.
z^6 + 2 = 0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar todas as soluções da equação , ou seja, as raízes dessa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, especialmente a forma exponencial, que nos ajuda a representar números no plano complexo de maneira mais fácil ao lidar com potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar :
Sabemos que números complexos podem ser representados em forma polar ou exponencial como:
onde é o módulo e é o argumento do número complexo.

Passo 3

Vamos expressar o lado direito da equação, , em forma exponencial. O número pode ser representado no plano complexo como tendo módulo 2 e argumento (pois está no eixo real negativo):

Passo 4

Agora, queremos encontrar todas as raízes sextas de . Para isso, usamos a fórmula das raízes de números complexos:
Aqui, representa as diferentes raízes e garante que obtenhamos todas as soluções distintas.

Passo 5

Calculando para cada valor de :
Para :
Para :
E assim por diante, até .

Resposta

As seis raízes da equação na forma exponencial são:

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