Determine todas as raízes de cada equação e representeos como vetores no plano complexo. Deixe as respostas na forma exponencial.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar todas as soluções da equação
, ou seja, as raízes dessa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, especialmente a forma exponencial, que nos ajuda a representar números no plano complexo de maneira mais fácil ao lidar com potências e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
:
Sabemos que números complexos podem ser representados em forma polar ou exponencial como:
onde
é o módulo e
é o argumento do número complexo.
Passo 3
Vamos expressar o lado direito da equação,
, em forma exponencial. O número
pode ser representado no plano complexo como tendo módulo 2 e argumento
(pois está no eixo real negativo):
Passo 4
Agora, queremos encontrar todas as raízes sextas de
. Para isso, usamos a fórmula das raízes de números complexos:
Aqui,
representa as diferentes raízes e garante que obtenhamos todas as soluções distintas.
Passo 5
Calculando para cada valor de
:
Para
:
Para
:
E assim por diante, até
.
Resposta
As seis raízes da equação
na forma exponencial são: