Uma possível modelagem para a porcentagem de canadenses fumantes é dada pela função
y = 0,0292 x^2 - 1,121 x + 39
onde x é o número de anos após 1980*
© Em quais intervalos de tempo a porcentagem de fumantes no Canadá diminui e em quais aumenta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função quadrática que modela a porcentagem de fumantes no Canadá ao longo dos anos após 1980. A função é:
Aqui, x representa o número de anos após 1980. Nosso objetivo é descobrir em quais períodos essa porcentagem está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos mostram o comportamento crescente ou decrescente de uma função.

Passo 2

Primeiro, para saber quando a função está aumentando ou diminuindo, precisamos encontrar a derivada da função em relação a x. A derivada nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
A derivada de y em relação a x é:

Passo 3

Agora, vamos descobrir quando a derivada é igual a zero. Isso nos dá o ponto crítico, onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo :

Passo 4

Esse valor de significa que 19,2 anos após 1980, ou seja, por volta de 1999, a tendência da porcentagem de fumantes muda. Agora vamos analisar os intervalos:
  • Para : Escolhendo um valor menor que 19,2, por exemplo, ,
Como , a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para : Escolhendo um valor maior que 19,2, por exemplo, ,
Como , a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A porcentagem de fumantes no Canadá está diminuindo de 1980 até aproximadamente 1999 e aumentando a partir de 1999 em diante.

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