Uma possível parametrização para a curva dada pela equação
, com
é
◯
◯
◯
◯
◯
◯ outro valor.
◯
◯
◯
◯
◯
◯ outro valor.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e diz que só queremos a porção com
. Também fornece várias parametrizações candidatas (variando centro e intervalos de
). O que nos pede: escolher qual das parametrizações propostas descreve exatamente a parte da circunferência indicada pelo intervalo de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação da curva:
. - Intervalo pedido para
: . - As parametrizações candidatas usam fórmulas do tipo
com vários intervalos de (algumas usam centro , outras centro ).
Passo 2
Identificar centro e raio da circunferência. Reescrevendo a equação:
Isto é a equação de uma circunferência com centro
e raio
. Explicando: a forma padrão é
, então
.
Passo 3
Lembrando a parametrização padrão de uma circunferência de centro
e raio
:
onde
varia em um intervalo de comprimento
para percorrer toda a circunferência (por exemplo
). Aplicando
obtemos
que descreve toda a circunferência quando
percorre um intervalo de comprimento
.
Passo 4
Agora restringimos
de modo que
fique entre
e
. Escrevemos a desigualdade e resolvemos:
Somando
em todas as partes:
Dividindo por
:
Portanto precisamos de
no intervalo
. Explicando o que isso significa geometricamente:
ocorre em
(mais geralmente
) e
ocorre em
(mais geralmente
). O conjunto de
com
é, em termos de um intervalo contínuo central,
(mod
). Se quisermos restringir
ao intervalo
, esse conjunto corresponde a
Qualquer intervalo de comprimento
que cubra exatamente os ângulos de cosseno não-negativo funciona; a escolha mais natural e simples é
.
Passo 5
Comparando com as opções dadas:
- Opções que usam
estão centradas em , portanto não representam nossa circunferência (centro errado). Eliminar opções 3 e 4. - A opção com
tem nesse intervalo, então daria . Não serve. - A opção com
inclui valores de negativos (entre e ), então produz em parte do intervalo; não corresponde exatamente ao pedido. - A opção com
produz exatamente , logo , que é o intervalo desejado. Assim esta opção descreve exatamente a porção pedida da circunferência.
Cheque rápido dos extremos para ficar tranquilo: em
temos
então
(o extremo direito); em
temos
então
(o extremo esquerdo). Tudo coerente.