Uma possível parametrização para a curva dada pela equação (x+1)^{2}+y^{2}=9, com -1 \leq x \leq 2 é
\left\{\begin{array}{l}x(t)=-1+3 \cos t \\\ y(t)=3 \operatorname{sen} t\end{array}, \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3 \pi}{2}\right.
\left\{\begin{array}{l}x(t)=-1+3 \cos t \\\ y(t)=3 \operatorname{sen} t\end{array}, \pi \leq t \leq 2 \pi\right.
\left\{\begin{array}{l}x(t)=1+3 \cos t \\\ y(t)=3 \operatorname{sen} t\end{array}, \pi \leq t \leq 2 \pi\right.
\left\{\begin{array}{l}x(t)=1+3 \cos t \\\ y(t)=3 \operatorname{sen} t\end{array}, 0 \leq t \leq \pi\right.
\left\{\begin{array}{l}x(t)=-1+3 \cos t \\\ y(t)=3 \operatorname{sen} t\end{array},-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right.
◯ outro valor.

Passo 1

O enunciado dá a curva \,(x+1)^{2}+y^{2}=9\, e diz que só queremos a porção com -1 \le x \le 2. Também fornece várias parametrizações candidatas (variando centro e intervalos de t). O que nos pede: escolher qual das parametrizações propostas descreve exatamente a parte da circunferência indicada pelo intervalo de x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação da curva: \,(x+1)^{2}+y^{2}=9\,.
  • Intervalo pedido para x: -1 \le x \le 2.
  • As parametrizações candidatas usam fórmulas do tipo x(t)=\text{const}+3\cos t,\; y(t)=3\sin t com vários intervalos de t (algumas usam centro -1, outras centro +1).

Passo 2

Identificar centro e raio da circunferência. Reescrevendo a equação:
(x+1)^{2}+y^{2}=9.
Isto é a equação de uma circunferência com centro \,(-1,0)\, e raio \,3. Explicando: a forma padrão é (x-h)^2+(y-k)^2=r^2, então h=-1,\;k=0,\;r=3.

Passo 3

Lembrando a parametrização padrão de uma circunferência de centro (h,k) e raio r:
x(t)=h+r\cos t,\qquad y(t)=k+r\sin t,
onde t varia em um intervalo de comprimento 2\pi para percorrer toda a circunferência (por exemplo 0\le t<2\pi). Aplicando h=-1,\;k=0,\;r=3 obtemos
x(t)=-1+3\cos t,\qquad y(t)=3\sin t,
que descreve toda a circunferência quando t percorre um intervalo de comprimento 2\pi.

Passo 4

Agora restringimos t de modo que x fique entre -1 e 2. Escrevemos a desigualdade e resolvemos:
-1 \le -1+3\cos t \le 2.
Somando 1 em todas as partes:
0 \le 3\cos t \le 3.
Dividindo por 3:
0 \le \cos t \le 1.
Portanto precisamos de \cos t no intervalo [0,1]. Explicando o que isso significa geometricamente: \cos t=1 ocorre em t=0 (mais geralmente t=2\pi k) e \cos t=0 ocorre em t=\pm\frac{\pi}{2} (mais geralmente t=\frac{\pi}{2}+k\pi). O conjunto de t com \cos t\in[0,1] é, em termos de um intervalo contínuo central, -\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2} (mod 2\pi). Se quisermos restringir t ao intervalo [0,2\pi], esse conjunto corresponde a
0\le t\le\frac{\pi}{2}\quad\text{ou}\quad \frac{3\pi}{2}\le t\le 2\pi.
Qualquer intervalo de comprimento \pi que cubra exatamente os ângulos de cosseno não-negativo funciona; a escolha mais natural e simples é -\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Comparando com as opções dadas:
  • Opções que usam x(t)=1+3\cos t estão centradas em (1,0), portanto não representam nossa circunferência (centro errado). Eliminar opções 3 e 4.
  • A opção com x(t)=-1+3\cos t,\; \frac{\pi}{2}\le t\le\frac{3\pi}{2} tem \cos t\le 0 nesse intervalo, então daria x\le -1. Não serve.
  • A opção com x(t)=-1+3\cos t,\; \pi\le t\le 2\pi inclui valores de \cos t negativos (entre \pi e \tfrac{3\pi}{2}), então produz x<-1 em parte do intervalo; não corresponde exatamente ao pedido.
  • A opção com x(t)=-1+3\cos t,\; -\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2} produz exatamente \cos t\in[0,1], logo x\in[-1,2], que é o intervalo desejado. Assim esta opção descreve exatamente a porção pedida da circunferência.
Cheque rápido dos extremos para ficar tranquilo: em t=0 temos \cos 0=1 então x(0)=-1+3\cdot1=2 (o extremo direito); em t=\pm\frac{\pi}{2} temos \cos(\pm\frac{\pi}{2})=0 então x=-1 (o extremo esquerdo). Tudo coerente.

Resposta

\left\{\begin{array}{l}x(t)=-1+3\cos t \\\ y(t)=3\sin t\end{array},-\dfrac{\pi}{2}\le t\le \dfrac{\pi}{2}\right.

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