Qual das alternativas abaixo representa uma troca de ordem das variáveis na região descrita por
◯
.
◯
.
◯
.
◯
.
◯
.
◯ Nenhuma das alternativas anteriores.
◯
◯
◯
◯
◯ Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a região do espaço
definida pelas desigualdades abaixo e pede que se identifique, entre as alternativas, uma descrição equivalente da mesma região com a ordem das variáveis trocada:
Informações dadas (listadas claramente):
-
varia entre e . - Para cada valor de
, varia entre e . - Para cada par
dentro desses intervalos, varia entre e .
A pergunta é: qual alternativa descreve corretamente a mesma região quando se troca a ordem de integração (isto é, quando se coloca
antes de
, mantendo
como a variável externa, já que todas as alternativas estão escritas com
primeiro)?
Passo 2
Vamos entender geometricamente o que as desigualdades significam, fixando primeiro
e analisando as projeções no plano
.
Fixo um
dentro de
. Então
percorre:
Para cada tal
o
vai de
Observe que o teto de
é uma função afim decrescente de
: quando
aumenta, o máximo permitido para
diminui linearmente. Isso é importante para encontrar os limites quando trocamos a ordem
e
.
Passo 3
Primeiro passo técnico para trocar a ordem (colocar
antes de
): para um
fixo, determinar o intervalo possível de
(varrendo todos os
permitidos).
Como
sempre, e o teto de
para um dado
é
, o valor máximo possível de
(para esse
) ocorre quando
é o menor possível, ou seja
. Substituindo
obtemos:
Portanto, para esse
fixo, o intervalo total de
(quando
varia por todo o seu intervalo) é
Passo 4
Agora, para um
fixo e um
fixo (dentro do intervalo encontrado), determinar os valores possíveis de
.
Partimos da desigualdade que liga
e
:
Isolando
nessa desigualdade:
Além disso sempre vale
e também originalmente
. Mas note que, para
,
ou seja, a nova condição
já é mais restritiva (quando
) e incorpora a restrição original
. Portanto, para um
e
fixos dentro dos seus intervalos válidos,
varia entre
desde que o lado direito seja não-negativo; essa não-negatividade é exatamente a condição
que já obtivemos no passo anterior. Logo tudo é consistente.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores, uma descrição equivalente da região, com
externo,
no meio e
interno, é
Essa forma coincide com a quarta alternativa apresentada. As outras alternativas estão incorretas porque ou ignoram a dependência de
no teto de
(incluindo pontos extras), ou substituem limites por expressões que não satisfazem a desigualdade original.