Qual das alternativas abaixo representa uma troca de ordem das variáveis na região descrita por
0 \leq y \leq 3,0 \leq x \leq 1-\frac{y}{3}, 0 \leq z \leq 2-\frac{2 y}{3}-2 x ?
0 \leq y \leq 3, \quad 0 \leq z \leq 2-\frac{2 y}{3}, \quad 0 \leq x \leq 1-\frac{y}{3}.
0 \leq y \leq 3, \quad 0 \leq z \leq 2, \quad 0 \leq x \leq 1-\frac{y}{3}.
0 \leq y \leq 3, \quad 0 \leq z \leq 2-\frac{2 y}{3}, \quad 0 \leq x \leq 1-\frac{z}{2}.
0 \leq y \leq 3, \quad 0 \leq z \leq 2-\frac{2 y}{3}, \quad 0 \leq x \leq 1-\frac{y}{3}-\frac{z}{2}.
0 \leq y \leq 3, \quad 0 \leq z \leq 2-\frac{2 y}{3}-2 x, \quad 0 \leq x \leq 1-\frac{y}{3}.
◯ Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a região do espaço (x,y,z) definida pelas desigualdades abaixo e pede que se identifique, entre as alternativas, uma descrição equivalente da mesma região com a ordem das variáveis trocada:
0 \leq y \leq 3,\qquad 0 \leq x \leq 1-\frac{y}{3},\qquad 0 \leq z \leq 2-\frac{2 y}{3}-2 x.
Informações dadas (listadas claramente):
  • y varia entre 0 e 3.
  • Para cada valor de y, x varia entre 0 e 1-\dfrac{y}{3}.
  • Para cada par (y,x) dentro desses intervalos, z varia entre 0 e 2-\dfrac{2y}{3}-2x.
A pergunta é: qual alternativa descreve corretamente a mesma região quando se troca a ordem de integração (isto é, quando se coloca z antes de x, mantendo y como a variável externa, já que todas as alternativas estão escritas com y primeiro)?

Passo 2

Vamos entender geometricamente o que as desigualdades significam, fixando primeiro y e analisando as projeções no plano x\!-\!z.
Fixo um y dentro de [0,3]. Então x percorre:
0 \le x \le 1-\frac{y}{3}.
Para cada tal x o z vai de
0 \le z \le 2-\frac{2y}{3}-2x.
Observe que o teto de z é uma função afim decrescente de x: quando x aumenta, o máximo permitido para z diminui linearmente. Isso é importante para encontrar os limites quando trocamos a ordem x e z.

Passo 3

Primeiro passo técnico para trocar a ordem (colocar z antes de x): para um y fixo, determinar o intervalo possível de z (varrendo todos os x permitidos).
Como z\ge 0 sempre, e o teto de z para um dado x é 2-\dfrac{2y}{3}-2x, o valor máximo possível de z (para esse y) ocorre quando x é o menor possível, ou seja x=0. Substituindo x=0 obtemos:
z_{\max}(y)=2-\frac{2y}{3}-2\cdot 0 = 2-\frac{2y}{3}.
Portanto, para esse y fixo, o intervalo total de z (quando x varia por todo o seu intervalo) é
0 \le z \le 2-\frac{2y}{3}.

Passo 4

Agora, para um y fixo e um z fixo (dentro do intervalo encontrado), determinar os valores possíveis de x.
Partimos da desigualdade que liga x e z:
z \le 2-\frac{2y}{3}-2x.
Isolando x nessa desigualdade:
2x \le 2-\frac{2y}{3}-z \quad\Rightarrow\quad x \le 1-\frac{y}{3}-\frac{z}{2}.
Além disso sempre vale x\ge 0 e também originalmente x\le 1-\dfrac{y}{3}. Mas note que, para z\ge 0,
1-\frac{y}{3}-\frac{z}{2}\le 1-\frac{y}{3},
ou seja, a nova condição x\le 1-\dfrac{y}{3}-\dfrac{z}{2} já é mais restritiva (quando z>0) e incorpora a restrição original x\le 1-\dfrac{y}{3}. Portanto, para um y e z fixos dentro dos seus intervalos válidos, x varia entre
0 \le x \le 1-\frac{y}{3}-\frac{z}{2},
desde que o lado direito seja não-negativo; essa não-negatividade é exatamente a condição z\le 2-\dfrac{2y}{3} que já obtivemos no passo anterior. Logo tudo é consistente.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores, uma descrição equivalente da região, com y externo, z no meio e x interno, é
0 \le y \le 3,\qquad 0 \le z \le 2-\frac{2y}{3},\qquad 0 \le x \le 1-\frac{y}{3}-\frac{z}{2}.
Essa forma coincide com a quarta alternativa apresentada. As outras alternativas estão incorretas porque ou ignoram a dependência de x no teto de z (incluindo pontos extras), ou substituem limites por expressões que não satisfazem a desigualdade original.

Resposta

0 \leq y \leq 3,\quad 0 \leq z \leq 2-\dfrac{2 y}{3},\quad 0 \leq x \leq 1-\dfrac{y}{3}-\dfrac{z}{2}.

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