Determine, usando coordenadas cilíndricas:
O volume de uma esfera de raio 5.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o volume de uma esfera de raio 5 usando coordenadas cilíndricas.
Informações fornecidas / que vamos usar:
  • A esfera é centrada na origem e tem raio 5; sua equação cartesiana é x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
  • Queremos o volume da região sólida interna a essa esfera.

Passo 2

Relembrando coordenadas cilíndricas e o elemento de volume (aula rapidinha, sem pânico):
  • Nas coordenadas cilíndricas usamos (r,\theta,z) com as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • O fator de escala (Jacobiano) ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z) é r. Isso significa que o elemento de volume cartesiano dV = dx\,dy\,dz vira
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação intuitiva: pequenas células em (r,\theta) têm área aproximada r\,dr\,d\theta (comprimento ~ r\,d\theta, largura dr).

Passo 3

Descrever a esfera em coordenadas cilíndricas:
  • A equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 fica, usando x^{2}+y^{2}=r^{2},
r^{2}+z^{2}=25.
  • Para fixar um r dado, os valores de z que pertencem à esfera são
-\sqrt{25-r^{2}}\le z\le \sqrt{25-r^{2}}.
  • O raio projetado no plano xy (isto é, r) varia de 0 até 5.
  • O ângulo \theta percorre a volta inteira: 0\le\theta\le 2\pi.
Portanto a região sólida (a esfera) em coordenadas cilíndricas pode ser descrita por
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 5,\qquad -\sqrt{25-r^{2}}\le z\le \sqrt{25-r^{2}}.

Passo 4

Montar a integral tripla do volume usando o elemento dV=r\,dz\,dr\,d\theta:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5}\int_{-\sqrt{25-r^{2}}}^{\sqrt{25-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em z:
  • Integrando em z temos
\int_{-\sqrt{25-r^{2}}}^{\sqrt{25-r^{2}}} r\,dz = r\cdot\bigl(2\sqrt{25-r^{2}}\bigr)=2r\sqrt{25-r^{2}}.
  • Substituindo na integral total:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} 2r\sqrt{25-r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separar a parte angular e calcular a integral em r:
  • A integral em \theta é simples:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Assim
V = 2\pi \int_{0}^{5} 2r\sqrt{25-r^{2}}\,dr = 4\pi \int_{0}^{5} r\sqrt{25-r^{2}}\,dr.
  • Fazer a substituição u=25-r^{2}. Então du=-2r\,dr ou r\,dr=-\dfrac{du}{2}.
  • Mudar os limites: quando r=0, u=25; quando r=5, u=0.
  • A integral em r vira
\int_{0}^{5} r\sqrt{25-r^{2}}\,dr = \int_{25}^{0} \sqrt{u}\left(-\dfrac{du}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{25} u^{1/2}\,du.
  • Calcular a integral de u^{1/2}:
\dfrac{1}{2}\int_{0}^{25} u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{25} = \dfrac{1}{3}\,25^{3/2}.
  • Como 25^{3/2}=(\sqrt{25})^{3}=5^{3}=125, obtemos
\int_{0}^{5} r\sqrt{25-r^{2}}\,dr = \dfrac{125}{3}.

Passo 7

Combinar tudo para obter o valor do volume:
V = 4\pi\cdot \dfrac{125}{3} = \dfrac{500\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{500\pi}{3}

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