Determine, usando coordenadas cilíndricas:
O volume de uma esfera de raio 5.
O volume de uma esfera de raio 5.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o volume de uma esfera de raio
usando coordenadas cilíndricas.
Informações fornecidas / que vamos usar:
- A esfera é centrada na origem e tem raio
; sua equação cartesiana é . - Queremos o volume da região sólida interna a essa esfera.
Passo 2
Relembrando coordenadas cilíndricas e o elemento de volume (aula rapidinha, sem pânico):
- Nas coordenadas cilíndricas usamos
com as relações
- O fator de escala (Jacobiano) ao passar de
para é . Isso significa que o elemento de volume cartesiano vira
Explicação intuitiva: pequenas células em
têm área aproximada
(comprimento ~
, largura
).
Passo 3
Descrever a esfera em coordenadas cilíndricas:
- A equação
fica, usando ,
- Para fixar um
dado, os valores de que pertencem à esfera são
- O raio projetado no plano
(isto é, ) varia de até . - O ângulo
percorre a volta inteira: .
Portanto a região sólida (a esfera) em coordenadas cilíndricas pode ser descrita por
Passo 4
Montar a integral tripla do volume usando o elemento
:
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
- Integrando em
temos
- Substituindo na integral total:
Passo 6
Separar a parte angular e calcular a integral em
:
- A integral em
é simples:
- Assim
- Fazer a substituição
. Então ou . - Mudar os limites: quando
, ; quando , . - A integral em
vira
- Calcular a integral de
:
- Como
, obtemos
Passo 7
Combinar tudo para obter o valor do volume: