Uma possível relação de dispersão para uma banda de energia num cristal bidimensional é dada, em electrões-Volt, por:
E_{n}(\vec{k})=-3 \cos \left(2 a k_{x}-3 a k_{y}\right)-\cos \left(3 a k_{x}+2 a k_{y}\right)
onde a=5 \AA.
(a) Quais são os vectores da rede recíproca?
(b) Quais são os vectores da rede real?
(c) Que tipo de função de onda tem o electrão?
(d) A que se refere o índice n ?
(e) Calcule a massa efectiva no fundo da banda.

Passo 1

O enunciado dá uma relação de dispersão de uma banda num cristal bidimensional
E_{n}(\mathbf{k})=-3\cos\bigl(2a k_x-3a k_y\bigr)\;-\;\cos\bigl(3a k_x+2a k_y\bigr),
com a=5,\AA.
Conteúdo: teoria de redes cristalinas (reais e recíprocas), funções de onda de Bloch, índice de bandas e massa efetiva.
Vamos usar:
  1. Identificar vetores de translação que geram os cossenos (direta).
  2. Calcular vetores recíprocos via \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j=2\pi\delta_{ij}.
  3. Descrever a forma da função de onda (teorema de Bloch).
  4. Interpretar o índice n.
  5. Expandir E(\mathbf{k}) em torno do mínimo e obter a massa efetiva via o hessiano \partial^2E/\partial k_i\partial k_j.

Passo 2

Os argumentos dos cossenos têm a forma \mathbf{k}\cdot\mathbf{R}, indicando vetores de rede direta
\mathbf{R}_1 = 2a\,\hat{\mathbf{x}} - 3a\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad \mathbf{R}_2 = 3a\,\hat{\mathbf{x}} + 2a\,\hat{\mathbf{y}}.
Esses dois vetores geram a rede real.

Passo 3

Os vetores da rede recíproca \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2 satisfazem
\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{R}_j = 2\pi\,\delta_{ij}.
Tomando \mathbf{R}_1=(2a,-3a) e \mathbf{R}_2=(3a,2a), resolvemos
\begin{cases} \mathbf{b}_1\cdot\mathbf{R}_1=2\pi,\\\ \mathbf{b}_1\cdot\mathbf{R}_2=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} \mathbf{b}_2\cdot\mathbf{R}_1=0,\\\ \mathbf{b}_2\cdot\mathbf{R}_2=2\pi, \end{cases}
e obtemos
\mathbf{b}_1 = \frac{4\pi}{13a}\,\hat{\mathbf{x}} -\frac{6\pi}{13a}\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad \mathbf{b}_2 = \frac{6\pi}{13a}\,\hat{\mathbf{x}} +\frac{4\pi}{13a}\,\hat{\mathbf{y}}.

Passo 4

Pela teoria de bandas, o eléctron em potencial periódico tem a função de onda de Bloch
\psi_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\;u_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{r}),
com u_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R}_j)=u_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{r}).

Passo 5

O índice n em E_{n}(\mathbf{k}) etiqueta a banda de energia (banda de Bloch) – é o número quântico de banda.

Passo 6

O fundo da banda ocorre em \mathbf{k}_0=(0,0), pois aí \cos(0)=1 E_{\min}=-3-1=-4,eV. Para massa efetiva expandimos
E(\mathbf{k})\approx E(0)+\frac12\sum_{i,j} \frac{\partial^2E}{\partial k_i\partial k_j}\Big|_{0}\, k_i\,k_j.

Passo 7

Calculamos as segundas derivadas em \mathbf{k}=0:
\frac{\partial^2E}{\partial k_x^2}\Big|_{0} =12a^2+9a^2=21a^2, \quad \frac{\partial^2E}{\partial k_y^2}\Big|_{0} =27a^2+4a^2=31a^2,
\frac{\partial^2E}{\partial k_x\partial k_y}\Big|_{0} =-18a^2+6a^2=-12a^2.
Logo a matriz hessiana é
H = \begin{pmatrix} 21a^2 & -12a^2\\\\ -12a^2 & 31a^2 \end{pmatrix}.

Passo 8

A massa efetiva tensorial satisfaz
\bigl(m^*\bigr)^{-1}_{ij} =\frac{1}{\hbar^2}\, \frac{\partial^2E}{\partial k_i\partial k_j},
então (m^*)^{-1}=(a^2/\hbar^2)H. As massas efetivas principais são obtidas diagonalizando H.

Passo 9

Os autovalores de H são \lambda_1=13a^2 e \lambda_2=39a^2. Assim
m^*_1 = \frac{\hbar^2}{\lambda_1} = \frac{\hbar^2}{13\,a^2}, \qquad m^*_2 = \frac{\hbar^2}{39\,a^2}.
Em unidades de m_e e com a=5\times10^{-10},m, obtém-se numericamente
m^*_1\approx0{,}023\,m_e, \qquad m^*_2\approx0{,}008\,m_e.

Resposta

(a) \mathbf{b}_1=\frac{4\pi}{13a}\,\hat{x}-\frac{6\pi}{13a}\,\hat{y}, \mathbf{b}_2=\frac{6\pi}{13a}\,\hat{x}+\frac{4\pi}{13a}\,\hat{y}.
(b) \mathbf{R}_1=2a\,\hat{x}-3a\,\hat{y}, \mathbf{R}_2=3a\,\hat{x}+2a\,\hat{y}.
(c) Função de Bloch \psi_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n,\mathbf{k}}(\mathbf{r}).
(d) n é o índice de banda (número quântico de banda).
(e) Massa efetiva principal
m^*_1=\frac{\hbar^2}{13a^2}\approx0{,}023\,m_e, \qquad m^*_2=\frac{\hbar^2}{39a^2}\approx0{,}008\,m_e.

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