Uma possível relação de dispersão para uma banda de energia num cristal bidimensional é dada, em electrões-Volt, por:
E_{n}(\vec{k})=-3 \cos \left(2 a k_{x}-3 a k_{y}\right)-\cos \left(3 a k_{x}+2 a k_{y}\right)
onde a=5 \AA.
(a) Quais são os vectores da rede recíproca?
(b) Quais são os vectores da rede real?
(c) Que tipo de função de onda tem o electrão?
(d) A que se refere o índice n ?
(e) Calcule a massa efectiva no fundo da banda.
para um cristal bidimensional com a=5\AA.
Conteúdo: reticulado recíproco e real em 2D, função de onda de Bloch, índice de banda e massa efetiva via expansão quadrática em torno do mínimo.
Passo 2
Para achar os vectores da rede recíproca observamos que E(\vec{k}+\vec G)=E(\vec{k}) quando
\vec G\cdot\vec k = 2a k_x - 3a k_y \quad\text{ou}\quad \vec G\cdot\vec k = 3a k_x +2a k_y
são múltiplos inteiros de 2\pi. Logo vetores primitivos do reticulado recíproco são
(a) \vec b_1 = 2a\,\hat e_x -3a\,\hat e_y,\;\vec b_2 = 3a\,\hat e_x +2a\,\hat e_y.
(b) \vec a_1 = \frac{2\pi}{13a}(2\,\hat e_x-3\,\hat e_y),\;\vec a_2 = \frac{2\pi}{13a}(3\,\hat e_x+2\,\hat e_y).
(c) Função de onda de Bloch, \psi_{n\vec k}(\vec r)=e^{i\vec k\cdot\vec r}u_{n\vec k}(\vec r).
(d) n é o índice de banda (número de banda).
(e) Tensor da massa efetiva no mínimo: