Uma possível relação de dispersão para uma banda de energia num cristal bidimensional é dada, em electrões-Volt, por:
E_{n}(\vec{k})=-3 \cos \left(2 a k_{x}-3 a k_{y}\right)-\cos \left(3 a k_{x}+2 a k_{y}\right)
onde a=5 \AA.
(a) Quais são os vectores da rede recíproca?
(b) Quais são os vectores da rede real?
(c) Que tipo de função de onda tem o electrão?
(d) A que se refere o índice n ?
(e) Calcule a massa efectiva no fundo da banda.

Passo 1

O enunciado dá a relação de dispersão
E_{n}(\vec{k}) = -3\cos\bigl(2a k_x - 3a k_y\bigr)\;-\;\cos\bigl(3a k_x +2a k_y\bigr)
para um cristal bidimensional com a=5\AA.
Conteúdo: reticulado recíproco e real em 2D, função de onda de Bloch, índice de banda e massa efetiva via expansão quadrática em torno do mínimo.

Passo 2

Para achar os vectores da rede recíproca observamos que E(\vec{k}+\vec G)=E(\vec{k}) quando
\vec G\cdot\vec k = 2a k_x - 3a k_y \quad\text{ou}\quad \vec G\cdot\vec k = 3a k_x +2a k_y
são múltiplos inteiros de 2\pi. Logo vetores primitivos do reticulado recíproco são
\vec b_1 = 2a\,\hat e_x \;-\;3a\,\hat e_y, \qquad \vec b_2 = 3a\,\hat e_x \;+\;2a\,\hat e_y.

Passo 3

Os vectores primitivos \vec a_i da rede real satisfazem \vec a_i\cdot\vec b_j = 2\pi\,\delta_{ij}. Montando a matriz
B = \begin{pmatrix}2a & 3a\\[6pt]-3a&2a\end{pmatrix}
com \det B = 13a^2, tem-se
B^{-1} = \frac1{13a^2}\begin{pmatrix}2a & -3a\\[4pt]3a & 2a\end{pmatrix},
e portanto
\vec a_1 = 2\pi\bigl(B^{-1}\bigr)_{11}\,\hat e_x + 2\pi\bigl(B^{-1}\bigr)_{12}\,\hat e_y = \frac{2\pi}{13a}\bigl(2\,\hat e_x - 3\,\hat e_y\bigr),
\vec a_2 = \frac{2\pi}{13a}\bigl(3\,\hat e_x + 2\,\hat e_y\bigr).]

Passo 4

Num cristal periódico a função de onda dos electrões é do tipo de Bloch, ou seja
\psi_{n\vec k}(\vec r) = e^{i\vec k\cdot\vec r}\,u_{n\vec k}(\vec r),
onde u_{n\vec k}(\vec r) tem a periodicidade da rede real.

Passo 5

O índice n em E_n(\vec k) refere-se ao número de banda (ou ramo) da dispersão — cada n denomina uma sequência de níveis energéticos permitidos.

Passo 6

No fundo da banda está em \vec k=0 (pois ali \cos0=1 E_{\min}=-3-1=-4). Expandindo E(\vec k) até segunda ordem em k_x,k_y:
E(\vec k)\approx -4 +\tfrac12\sum_{i,j}\frac{\partial^2 E}{\partial k_i\partial k_j}\Big|_{0}\,k_i k_j.
Calcula-se os elementos da Hessiana em \vec k=0:
\frac{\partial^2E}{\partial k_x^2}\Big|_0 =21\,a^2, \quad \frac{\partial^2E}{\partial k_y^2}\Big|_0 =31\,a^2, \quad \frac{\partial^2E}{\partial k_x\partial k_y}\Big|_0 =-12\,a^2.
A definição tensorial da massa efetiva é
\bigl(m^*{}^{-1}\bigr)_{ij} =\frac1{\hbar^2}\,\frac{\partial^2E}{\partial k_i\partial k_j}.
Logo
m^*{}^{-1} =\frac{a^2}{\hbar^2} \begin{pmatrix}21 & -12\\[4pt]-12 &31\end{pmatrix},
e invertendo para obter m^*_{ij}:
m^* =\frac{\hbar^2}{507\,a^2} \begin{pmatrix}31 &12\\[4pt]12 &21\end{pmatrix}.
Em particular, ao longo de k_x isolado
m^*_x = \frac{\hbar^2}{21\,a^2},
e ao longo de k_y
m^*_y = \frac{\hbar^2}{31\,a^2}.]

Resposta

(a) \vec b_1 = 2a\,\hat e_x -3a\,\hat e_y,\;\vec b_2 = 3a\,\hat e_x +2a\,\hat e_y.
(b) \vec a_1 = \frac{2\pi}{13a}(2\,\hat e_x-3\,\hat e_y),\;\vec a_2 = \frac{2\pi}{13a}(3\,\hat e_x+2\,\hat e_y).
(c) Função de onda de Bloch, \psi_{n\vec k}(\vec r)=e^{i\vec k\cdot\vec r}u_{n\vec k}(\vec r).
(d) n é o índice de banda (número de banda).
(e) Tensor da massa efetiva no mínimo:
m^*{}^{-1}_{ij}=\frac{a^2}{\hbar^2}\begin{pmatrix}21 & -12\\[4pt]-12 &31\end{pmatrix},
ou seja
m^*_x=\frac{\hbar^2}{21\,a^2},\quad m^*_y=\frac{\hbar^2}{31\,a^2},\quad m^*=\frac{\hbar^2}{507\,a^2}\begin{pmatrix}31 &12\\\ 12 &21\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados